Relación reflexiva

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Relación homogénea Relación reflexiva Relación no reflexiva Conjunto preordenado Relación de dependencia Conjunto parcialmente ordenado Relación de equivalencia Orden total AcotadoClasiBinaEs 004.svg
Acerca de esta imagen

En matemáticas, una relación reflexiva o refleja es una relación binaria R sobre un conjunto A, de manera que todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir, \forall x\in A, \; xRx.

En tal caso, se dice que R cumple con la propiedad de reflexividad.

Cuando una relación es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningún elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R, entonces decimos que es irreflexiva, antirreflexiva o antirrefleja, lo que denotamos formalmente por:

\forall x\in A, \; \neg(xRx)

En este caso, se dice que R cumple con la propiedad de antirreflexividad.

Representación[editar]

Sea R una relación reflexiva o antirreflexiva aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

Notación Relación reflexiva Relación antirreflexiva
Como pares ordenados \forall x\in A, \; (x, x)\in R \forall x\in A, \; (x, x)\notin R
Como matriz de adyacencia La diagonal principal de la matriz contendrá sólo 1's, es decir, \forall i=\{1, ..., n\}, \; (a_{i,i})_{n\times n}=1. La diagonal principal de la matriz contendrá sólo 0's, es decir, \forall i=\{1, ..., n\}, \; (a_{i,i})_{n\times n}=0.
Como grafo El grafo contendrá bucles en todos sus nodos. El grafo no contendrá bucles en ninguno de sus nodos.

Ejemplos[editar]

Sea A un conjunto cualquiera:

  • Sea (A, \cup), \cup es reflexiva, porque todo conjunto está contenido en sí mismo.
  • Sea (A, \ge), \ge ("mayor o igual que") es reflexiva, pero >\, ("mayor estricto que") no lo es.
  • Sea (A, \le), \le ("menor o igual que") es reflexiva, pero <\, ("menor estricto que") no lo es.
  • Sea (A, =)\,, =\, (la igualdad matemática), es reflexiva.
  • Sea (A, \subseteq), \subseteq (la inclusión de conjuntos), es reflexiva.
  • Sea (\mathbb{N}\backslash\{0\}, \backslash), \backslash\, (la divisibilidad) es reflexiva.
  • Sea X el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de paralelismo || entre rectas es reflexiva, porque toda recta es paralela a sí misma.
  • Sea X el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de perpendicularidad \bot entre dos rectas es antirreflexiva, porque no hay rectas que sean perpendiculares a sí mismas.
  • Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son antirreflexivas, porque en ningún caso alguien puede ser padre o madre de sí mismo.

Véase también[editar]

Propiedades de la relación binaria homogénea: