Relación de orden

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Sea A un conjunto dado no vacío y R una relación binaria definida en A, entonces decimos que R es una relación de orden si cumple las siguientes propiedades:

1. Reflexividad: Todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir, .
2. Antisimetría: Si dos elementos de A se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir,
3. Transitividad: Si un elemento de A está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,

Una relación de orden R sobre un conjunto A puede denotarse con el par ordenado .

Contenido 1 Relación de orden total 2 Relación de orden parcial 3 Relación de orden densa 4 Véase también

[editar] Relación de orden total

Sea A un conjunto dado, es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de A se relacionan entre sí, es decir,

.

• Ejemplo es totalmente ordenado. En efecto, es:
  • Reflexivo: entonces (porque por definición, )
  • Antisimétrico: si y entonces
  • Transitivo: si y entonces

[editar] Relación de orden parcial

Sea A un conjunto dado, es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de A se relacionan entre sí, es decir,

tal que .

• Ejemplo. Sea el conjunto X = {1,2,3} y el conjunto potencia de X, definido por:

Entonces es parcialmente ordenado, pues sean

pero

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

[editar] Relación de orden densa

Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, para todo x e y en X tales que x < y (x ≤ y y x ≠ y), existe otro z en X tal que x < z < y.

• Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si q₁ < q₂ entonces tenemos que q₃ := (q₁+q₂)/2 satisface que: q₁ < q₂ < q₃.
• Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un cojunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.

[editar] Véase también

• Conjunto bien ordenado