Relación de orden

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En matemática y en lógica matemática, especialmente en teoría del orden y álgebra abstracta, una relación de orden es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto.

Definición[editar]

Sea A un conjunto dado no vacío y R una relación binaria definida en A, entonces se dice que R es una relación de orden[1] si cumple las siguientes propiedades:

  1. Reflexividad: Todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir, \forall x\in A, \; xRx.
  2. Antisimetría: Si dos elementos de A se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir, \forall x,y\in A, \; xRy, \; yRx \; \Rightarrow \; x=y
  3. Transitividad: Si un elemento de A está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, \forall x,y,z\in A, \; xRy , yRz \Rightarrow xRz

Una relación de orden R sobre un conjunto A puede denotarse con el par ordenado (A,\le).

Relación de orden total[editar]

Sea A un conjunto dado,  \le es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de A se relacionan entre sí, es decir,

\forall x,y\in A, (x\le y) \vee (y\le x).

  • Ejemplo (\mathbb{N},\le) es totalmente ordenado. En efecto, es:
    • Reflexivo: \forall n\in\mathbb{N}, entonces n\le n (porque por definición, n=n\,)
    • Antisimétrico: \forall n_1, n_2\in\mathbb{N}, si \; \; n_1\le n_2\; \; y \; \; n_2\le n_1,\; \; entonces n_1\le n_2\le n_1 \Rightarrow n_1=n_2
    • Transitivo: \forall n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N}, si \; \; n_1\le n_2\; \; y \; \; n_2\le n_3,\; \; entonces n_1\le n_2\le n_3 \Rightarrow n_1\le n_3
    • Orden total, pues

Sean m y n dos números naturales, entonces m ≤ n ó n ≤ m [2] .

Contraejemplo, (ℤ+, | ) no es totalmente ordenado con la relación a|b , " a divide b"; pues
5 no divide a 12, ya que no existe h entero positivo tal que 12 = 5h. En todo caso , para cualquier h ∈ ℤ+, 12 ≠ 5h. [3]

Relación de orden parcial[editar]

Sea A un conjunto dado,  \le es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de A se relacionan entre sí, es decir,

\exists x,y\in A, tal que (x\le y) \vee (y\le x).

\mathcal{P}(X)=\{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\} \}

Entonces (\mathcal{P}(X), \subseteq) es parcialmente ordenado, pues sean

A=\{1\}, B=\{1,2\}, C=\{3\}\in\mathcal{P}(X),
A\subseteq B, pero (A\nsubseteq C) \wedge (C\nsubseteq A).

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

Relación de orden densa o bien ordenada[editar]

Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, para todo x e y en X tales que x < y (xy y xy), existe otro z en X tal que x < z < y.

  • Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si q1 < q2 entonces tenemos que q3 := (q1+q2)/2 satisface que: q1 < q3 < q2.
  • Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.

Véase también[editar]

Esquema de temas relacionados[editar]

Teoría del orden
Bien ordenado
Orden total
Parcialmente ordenado
Preordenado
Relación reflexiva
Relación transitiva
Relación antisimétrica
Relación total
Relación bien fundada

Referencias[editar]

  1. BIRKHOFF (1948), p. 1.
  2. Rojas, Algebra I, (1972), pg. 91
  3. Rojas, Op. cit

Bibliografía[editar]

  • Birkhoff, Garrett (1948) (en inglés). Lattice Theory. New York: American Mathematical Society. 
  • Davey, B.A.; Priestley, H.A (2002) (en inglés). Introduction to Lattices and Order. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1. 
  • Fraïssé, Roland (2000) (en inglés). Theory of Relations. Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-50542-3. 
  • Roman, Steven (2008) (en inglés). Lattices and Ordered Sets. New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2. 
  • Rosenstein, Joseph G (1982) (en inglés). Linear Orderings (2nd. edición). New York: Academic Press. ISBN 0-12-597680-1.