Relación de orden

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Sea A un conjunto dado no vacío y R una relación binaria definida en A, entonces decimos que R es una relación de orden si cumple las siguientes propiedades:

  1. Reflexividad: Todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir, \forall x\in A, \; xRx.
  2. Antisimetría: Si dos elementos de A se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir, \forall x,y\in A, \; xRy, \; yRx \; \Rightarrow \; x=y
  3. Transitividad: Si un elemento de A está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, \forall x,y,z\in A, \; xRy , yRz \Rightarrow xRz

Una relación de orden R sobre un conjunto A puede denotarse con el par ordenado (A,\le).

Contenido

[editar] Relación de orden total

Sea A un conjunto dado,  \le es una relación de orden total si y solo si todos los elementos de A se relacionan entre sí, es decir,

\forall x,y\in A, (x\le y) \vee (y\le x).

  • Ejemplo (\mathbb{N},\le) es totalmente ordenado. En efecto, es:
    • Reflexivo: \forall n\in\mathbb{N}, entonces n\le n (porque por definición, n=n\,)
    • Antisimétrico: \forall n_1, n_2\in\mathbb{N}, si \; \; n_1\le n_2\; \; y \; \; n_2\le n_1,\; \; entonces n_1\le n_2\le n_1 \Rightarrow n_1=n_2
    • Transitivo: \forall n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N}, si \; \; n_1\le n_2\; \; y \; \; n_2\le n_3,\; \; entonces n_1\le n_2\le n_3 \Rightarrow n_1\le n_3

[editar] Relación de orden parcial

Sea A un conjunto dado,  \le es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de A se relacionan entre sí, es decir,

\exists x,y\in A, tal que (x\le y) \vee (y\le x).

\mathcal{P}(X)=\{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\} \}

Entonces (\mathcal{P}(X), \subseteq) es parcialmente ordenado, pues sean

A=\{1\}, B=\{1,2\}, C=\{3\}\in\mathcal{P}(X),
A\subseteq B, pero (A\nsubseteq C) \wedge (C\nsubseteq A).

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

[editar] Relación de orden densa

Véase también: Conjunto denso

Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, para todo x e y en X tales que x < y (xy y xy), existe otro z en X tal que x < z < y.

  • Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si q1 < q2 entonces tenemos que q3 := (q1+q2)/2 satisface que: q1 < q2 < q3.
  • Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un cojunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.

[editar] Véase también

Herramientas personales