Relación binaria

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En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados,  (a,b)\in A \times B :[1]


   R = 
   \Big\{
      (a,b): \; a \in A \quad \land \quad
      b \in B  \quad \land \quad
      R(a,b) = \mbox{cierto}
   \Big\}

Las proposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria R\,:


   a \mathcal{R} b
   \qquad \mbox{o} \qquad
   R(a,b)
   \qquad \mbox{o bien} \qquad
   (a,b) \in R

También puede expresarse:


   \mathcal{R} \; a \; b

en notación polaca.

Ejemplo[editar]

 P = \{ (x,y): \; (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \land \; y =  2 x^2 - 3x +5 \}
  • Partiendo del conjunto A de los automóviles de una localidad y P de las personas, podemos definir la relación binaria C Conduce, formada por cada automóvil a, y quien lo conduce p:
 C = \{(a,p): (a,p) \in A \times P \; \land \; a\ \mbox{es un autom}\mathrm\acute{o}
\mbox{vil}\ \land \; p \; \mbox{es su conductor} \}

Clasificación[editar]

Relación binaria Relación homogénea Correspondencia matemática Relación reflexiva Relación no reflexiva Correspondencia unívoca Conjunto preordenado Relación de dependencia Aplicación matemática Correspondencia biunívoca Conjunto parcialmente ordenado Relación de equivalencia Aplicación sobreyectiva Aplicación inyectiva Orden total Acotado Aplicación biyectivaClasiBinaEs 002.svg
Acerca de esta imagen

La importancia en matemáticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte de las asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numéricos como no numéricos, se hace de dos en dos elementos, tanto si son elementos de un único conjunto o de dos conjuntos distintos, en el esquema se puede ver algunas estructuras algebraicas o subtipos de relación binaria. Emplearemos este esquema para ver estos casos.

En primer lugar diferenciamos las relaciones binarias homogéneas de las heterogéneas, en las primeras la relación binaria se establece entre los elementos de un único conjunto, por lo que en realidad lo que determina es su estructura interna, mientras que en las segundas se establecen relaciones entre dos conjuntos distintos, lo que da lugar a operaciones o funciones matemáticas de cálculo, una relación homogénea puede ser tratada como heterogénea con los mismos subtipos, pero no al contrario.


Relación homogénea[editar]

Una relación binaria entre dos conjuntos se llama homogénea si estos dos conjuntos son iguales:


   R (a,b): \;
   (a,b)\in A \times B
   \quad \land \quad
   A = B

Dado que A y B son el mismo conjunto, se suele representar:


   R (a,b): \;
   (a,b)\in A \times A

O bien:


   R (a,b): \;
   (a,b)\in A^2

Relación heterogénea[editar]

Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea si A es distinto de B:[2]


   R (a,b): \;
   (a,b)\in A \times B
   \quad \land \quad
   A \ne B

Conceptos previos[editar]

Antes de afrontar el estudio de las relaciones binarias, veamos algunos conceptos que es necesario conocer:

Par ordenado[editar]

Las partes de un par ordenado son:

Primer conjunto
Primer componente
Segundo conjunto
Segundo componente

Del siguiente par ordenado (a, b) podemos decir que:

a es el primer componente del primer conjunto y;
b como el segundo componente del segundo conjunto.

Matemáticamente esto se expresa:


   A \times B =
   \{(x,y) \; | \quad
   x \in A \quad \land \quad
   y \in B \}

y se lee: El producto de A con B, es el conjunto de los pares ordenados (x,y) tales que x pertenece a A e y pertenece a B.

Producto cartesiano[editar]


  \begin{array}{|r|ccc|}
      \hline
               5 & (1,5) & (4,5) & (6,5) \\
               3 & (1,3) & (4,3) & (6,3) \\
               2 & (1,2) & (4,2) & (6,2) \\
      \hline
      A \times B &     1 &     4 &     6 \\
      \hline
   \end{array}

Definimos los conjuntos:

 A = \{1, 4, 6 \} \,
 B = \{2, 3, 5 \} \,

Obtenemos el producto cartesiano de A por B, colocando en una tabla los elementos del conjunto A en el eje horizontal y los de B en vertical, en la intersección colocamos los pares ordenados correspondientes, percatarse que en el par ordenado, en primer lugar se coloca el elemento de A, del eje horizontal y en segundo lugar el de B, del eje vertical.

La enumeración de los elementos, del conjunto de pares ordenados, seria el siguiente:


   A \times B = \{
     (1,2), (1,3), (1,5),
     (4,2), (4,3), (4,5),
     (6,2), (6,3), (6,5)
   \} \,

Relación binaria, subconjunto del producto cartesiano[editar]

Visto del producto cartesiano de A por B, podemos definir una relación binaria, por ejemplo: mayor que, que se puede expresar:


   R = \{(a,b) : \quad
   a \in A \quad \land \quad
   b \in B\ \quad \land \quad
   a > b \}

que por extensión resulta:


   R = \{ (4,2), (4,3), (6,2), (6,3), (6,5) \} \,

Donde los pares ordenados que definen la relación binaria son un subconjunto del producto cartesiano de los conjuntos.[3]


   R \subset A \times B

Esto último permite estimar el número de relaciones binarias entre dos conjuntos si:

\alpha = \mathrm{card}(A), \qquad \beta = \mathrm{card}(B)

enotonces el número de relaciones binarias posibles entre los conjuntos A y B viene dado por:

2^{\alpha\cdot\beta} \quad
(\Leftarrow \quad \mathrm{Rel}_{bin}\subset \mathcal{P}(A\times B))

Donde si alguno de los dos conjuntos es infinito el número anterior debe entenderse como un número transfinito.

Relación binaria homogénea[editar]

Como ya se definió antes, una relación binaria homogénea es la que se da entre los elementos de un único conjunto, llamando A al conjunto, tendríamos:


   R (a,b): \;
   (a,b)\in A^2

Si la Relación binaria es entre los elementos de un único conjunto, dado que los distintos tipos de relación que se pueden determinar entre sus elementos tomados de dos en dos, determina la estructura del conjunto, lo veremos con un ejemplo:

Relación binaria 11.svg

Dado el conjunto A:

 A = \{a, b, c, d \} \,

y la relación entre los elementos de este conjunto, representada en la figura, se puede ver que solo hay un conjunto, el A y que la relación entre los elementos es interior al conjunto, en este caso representado por las flechas.

R \subset A^2

En este caso podemos decir, como enumeración de las relaciones entre los elementos del conjunto A.

 a \mathcal{R} b \quad b \mathcal{R} c \quad c \mathcal{R} d
 d \mathcal{R} d \quad d \mathcal{R} b \quad b \mathcal{R} a

o como conjunto de pares ordenados:

 R = \{ (a,b),(b,c),(c,d),(d,d),(d,b),(b,a) \} \,
Relación binaria 12.svg

También podemos representar una relación binaria homogénea como una correspondencia de A sobre A:

 R: A \rightarrow A

Tomando como conjunto inicial al conjunto A y como final también el conjunto A, nos permite asociar un elemento inicial a otro final dentro de un mismo conjunto, determinando una operación matemática o función de cálculo y no una estructura interna, teniendo siempre en cuenta, que si bien el conjunto inicial y final son un mismo conjunto, la relación es unidireccional, y si el elemento a está relacionado con el b no implica, necesariamente, que el b lo este con el a.

En este caso el análisis de la relación binaria se hace según los distintos tipos de correspondencia con el mismo significado que en las relaciones heterogéneas

Representación de una relación binaria como subconjunto del producto cartesiano:

Dado el producto  A \times A de pares ordenados (x, y), donde x, y pertenecen a A, la relación binaria será el subconjunto de  A \times A que contiene todos los pares de elementos relacionados.

d (a, d) (b, d) (c, d) (d, d)
c (a, c) (b, c) (c, c) (d, c)
b (a, b) (b, b) (c, b) (d, b)
a (a, a) (b, a) (c, a) (d, a)
A×A a b c d

Si el producto  A \times A es:

 A \times A  = \{ \,  (a,a), \, (a,b), \, (a,c), \, (a,d),
 (b,a), \, (b,b), \, (b,c), \, (b,d),
 (c,a), \, (c,b), \, (c,c), \, (c,d),
 (d,a), \, (d,b), \, (d,c), \, (d,d)  \} \,

el conjunto R de la relación binaria se representa:

 R = \{ ( a, b ), ( b, a ), ( b, c ), ( c, d ), ( d, b ), ( d, d ) \} \,

Nótese que en el eje horizontal se representa el conjunto inicial, y en el eje vertical el conjunto final.

Propiedades de las relaciones binarias homogénea[editar]

Una relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que formen parte de dicha relación o no formen parte de ella, veamos algunas:

Propiedad reflexiva[editar]

Una relación tiene la propiedad reflexiva, si todo elemento está relacionado consigo mismo, si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado (a,a) pertenece a la relación binaria R.

Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción, si esta propiedad solo se da en algunos casos la relación no es reflexiva:


   \nexists a \in A : \;
   (a,a) \notin R

No existe ningún elemento a en A, para el que el par ordenado (a,a) no pertenezca a la relación R. Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales.

Propiedad irreflexiva[editar]

Una relación binaria tiene la propiedad irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo:


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \notin R

Que también puede expresarse


   \nexists a \in A : \;
   (a,a) \in R

No existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a,a) pertenezca a R.

Propiedad simétrica[editar]

Una relación binaria tiene la propiedad simétrica, si se cumple que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación entonces el par (b,a) también pertenece a esa relación:


   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \longrightarrow \quad
   (b,a) \in R

Para todo par ordenado (a,b) que pertenezca a R, implica que el par (b,a) también pertenece a R, téngase en cuenta que si el par (a,b) no pertenece a la relación el par (b,a) tampoco tiene que pertenecer a esa relación:


   \nexists a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \land \quad
   (b,a) \notin R

No existe ningún par ordenado (a,b) que pertenezca a R y que el par (b,a) no pertenezca a R.

Propiedad antisimétrica[editar]

Una relación binaria se dice que tiene la propiedad antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación entonces a = b:


   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   a = b

Dicho de otra manera, no existen los elementos a, b distintos, y que a este relacionado con b y b este relacionado con a


   \nexists a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \land \quad
   (b,a) \in R
   \quad \land \quad
   a \ne b

Propiedad transitiva[editar]

Una relación binaria tiene la propiedad transitiva cuando, dado los elementos a, b, c del conjunto, si a está relacionado con b y b está relacionado con c, entonces a está relacionado con c:


   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

Propiedad total[editar]

Una relación binaria se dice que es total: si para todo elemento del conjunto: a, b; o a está relacionado con b ó b está relacionado con a, esto es el grafo de la relación es conexo:


   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \lor \quad
   (b,a) \in R

Relación bien fundada[editar]

Dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, esta relación se dice bien fundada, si para todo subconjunto B de A se cumple que existe un m en B tal que para todo b de B, y b distinto de m, el par ordenado (b,m) no pertenece a R.


   \forall B \subset A
   \; , \quad
   \exists m \in B
   \; : \quad
   \forall b \in B
   \; \land \;
   b \ne m
   \; : \quad
   (b,m) \notin R

Esto es para todo subconjunto B de A, existe un m en B, que es el elemento mínimo de ese subconjunto.

Clases de las relaciones binarias homogénea[editar]

Relación homogénea Relación reflexiva Relación no reflexiva Conjunto preordenado Relación de dependencia Conjunto parcialmente ordenado Relación de equivalencia Orden total AcotadoClasiBinaEs 004.svg
Acerca de esta imagen

Partiendo de las propiedades que una relación binaria homogéneas puede tener, se pueden diferenciar algunas por su especial interés:


Relación reflexiva[editar]

La propiedad reflexiva de una relación binaria es el inicio para los casos más elaborados, téngase en cuenta que las relaciones binarias no reflexivas y las irreflexivas son casos muy particulares muy poco estudiados, por su poca importancia en los casos más generales.

Las relaciones reflexivas son las definidas así:

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Se dice que esta relación binaria es relación reflexiva, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

El caso más claro de propiedad reflexiva es la de igualdad matemática, así dado un conjunto de números, los naturales por ejemplo, y la propiedad de igualdad entre números, tenemos que todo número natural es igual a sí mismo.

RelaRef 01.svg

Dado un conjunto A, formado por los siguientes elementos:


   A =
   \{ a, b, c, d \} \;

Y una relación R entre los elementos del conjunto, definida así:


   \R =
   \Big \{
   (a,a), (a,b), (b,b), (b,c), (c,c), (d,b), (d,d)
   \Big \}

Podemos ver que los pares ordenados que tienen sus dos términos iguales pertenecen a la relación:


   (a,a) \in \R \quad
   (b,b) \in \R \quad
   (c,c) \in \R \quad
   (d,d) \in \R

Luego la relación R es reflexiva.

RelaRef 11.svg

La relación R, también se puede representar en coordenadas cartesianas la función identidad.

En el eje horizontal (abscisas) representamos el conjunto inicial, de izquierda a derecha, y en el eje vertical(ordenadas) el conjunto final, de abajo a arriba, si un determinado par pertenece a la relación se coloca una cruz en la casilla correspondiente, si no pertenece se deja en blando, representando de este modo en coordenadas cartesianas la relación binaria.

RelaRef 21.svg

En la diagonal principal, inferior izquierda, superior derecha, corresponde a los pares ordenados en los que sus dos elementos son iguales, si todas las casillas de esta diagonal tienen aspas, la relación es reflexiva.

Como puede verse en el diagrama, la relación estudiada es reflexiva, dado que:

Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) pertenece a la relación R.

En cualquiera de las tres formas de representación vistas: enumeración de pares ordenados, donde los pares (e,e) pertenecen a la relación, el diagrama sagital, con una flecha que sale y llega a cada elemento del conjunto, o en coordenadas cartesianas, donde hay cruces en la diagonal principal, en todos los casos se representa una relación reflexiva, en la que todo elemento del conjunto está relacionado consigo mismo.

Relación no reflexiva[editar]

RelaRef 00.svg

Los casos más estudiados de relaciones binarias homogéneas son las que cumplen la propiedad reflexiva, una relación que no cumple la propiedad reflexiva es no reflexiva, un caso particular de relación no reflexiva son las relaciones irreflexivas, en las que ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo. Puede verse que si en una relación binaria algunos elementos están relacionados consigo mismo y otros no, la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva. Ver diagrama:


   \mbox{Relaciones homogéneas}
   \begin{cases}
      { \color{Blue}\mbox{reflexivas}} \\
      \mbox{no reflexivas}
      \begin{cases}
         { \color{Red}\mbox{irreflexivas}}\\
         { \color{Green}\mbox{no reflexivas y no irreflexivas}}
      \end{cases}\\
   \end{cases}

Las relaciones irreflexivas son un caso particular de las no reflexivas.

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Se dice que esta relación binaria es relación irreflexiva, si cumple:

1.- Relación irreflexiva: la relación R es irreflexiva si todo elemento a de A no está relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \notin R

También podemos decir que una relación es irreflexiva si:


   \nexists a \in A
   \, : \quad
   (a,a) \in R

Una relación es irreflexiva si no existe un a en A que cumpla que a está relacionado consigo mismo.

RelaRef 05.svg

Dado el conjunto:


   A =
   \{ a, b, c, d \} \,

y la relación entre los elementos de este conjunto:


   \R =
   \Big \{
   (a,b), (b,c), (d,b)
   \Big \}

Podemos ver que:


   (a,a) \notin \R \quad
   (b,b) \notin \R \quad
   (c,c) \notin \R \quad
   (d,d) \notin \R

Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) no pertenece a la relación R, luego esta relación en irreflexiva.

RelaRef 25.svg

La representación de la relación en coordenadas cartesianas nos permite ver que la diagonal principal no tiene ninguna cruz, lo que es equivalente a la irrefrexibilidad de la relación.

La propiedad reflexiva e irreflexiva son mutuamente excluyentes en una misma relación, el cumplimiento de una de ellas da lugar al incumplimiento de la otra necesariamente, si una relación es reflexiva, tenemos que:


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

y si es irreflexiva, se cumple:


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \notin R

Donde se ve claramente la incompatibilidad de las dos condiciones. El razonamiento contrario no es cierto dado que una relación binaria puede ser NO reflexiva y NO irreflexiva simultáneamente:

Una relación binaria es no reflexiva si:


   \exist a \in A
   \, : \quad
   (a,a) \notin R

Y una relación es no irreflexiva cuando:


   \exist a \in A
   \, : \quad
   (a,a) \in R

Estas dos condiciones son perfectamente compatibles, dando lugar a una relación binaria no reflexiva y no irreflexiva:


   \begin{cases}
      \exist a \in A \, : \quad (a,a) \notin R  \\
      \exist b \in A \, : \quad (b,b) \in R
   \end{cases}

veamos un ejemplo, dado el conjunto:


   A =
   \{ a, b, c, d \} \,
RelaRef 03.svg

En la que se ha definido la relación binaria:


   \R =
   \Big \{
   (a,a), (a,b), (b,c), (c,c), (d,b)
   \Big \}

Podemos ver que:


   (a,a) \in \R \quad
   (c,c) \in \R

Y también que:


   (b,b) \notin \R \quad
   (d,d) \notin \R

Luego la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva.

RelaRef 23.svg

Si representamos la relación binaria en coordenadas cartesianas, podemos ver que en la diagonal principal no todas las casillas tienen un aspa, luego la relación no es reflexiva, y tampoco están todas en blanco luego tampoco es irreflexiva, esto es un relación binaria no reflexiva y no irreflexiva, al darse estas dos condiciones simultáneamente en una misma relación.

En resumen, podemos diferenciar tres clases de relaciones:

  • Relaciones reflexivas
  • Relaciones irreflexivas
  • Relaciones no reflexivas y no irreflexivas.

Dado, que como ya se ha mencionado, una relación no puede ser reflexiva e irreflexiva simultáneamente, pero si puede ser no reflexiva y no irreflexiva simultáneamente.

Relación de dependencia[editar]

Una relación binaria es una relación de dependencia si es reflexiva y simétrica:

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Se dice que esta relación binaria es relación de dependencia, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva, si todo elemento a de A está relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica, si un elemento a está relacionado con otro b, entonces el b también está relacionado con el a.


   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \longrightarrow \quad
   (b,a) \in R

Así por ejemplo si consideramos el conjunto de los números naturales, y definimos la distancia D entre dos números, como el valor absoluto de su diferencia:


   \forall a, b \in \N : \;
   D= | a-b|

y decimos que dos números naturales a, b están próximos si su distancia es a lo sumo un valor D conocido, tenemos que la relación binaria de proximidad es:


   (a, b) \in R : \;
   (a, b) \in \N^2
   \quad \land \quad
   |a-b| \le D

es una relación de dependencia, dado que es reflexiva:


   \forall a \in \N : \;
   |a-a| \le D

es simétrica:


   \forall a, b \in \N : \;
   |a-b| \le D
   \quad \longrightarrow \quad
   |b-a| \le D

relación binaria de proximidad no es transitiva, dado que:


   \forall a, b, c \in \N : \;
   \Big (
       |a-b| \le D
      \quad \land \quad
       |b-c| \le D
   \Big )
   \quad \nrightarrow \quad
    |a-c| \le D

que la distancia entre a y b sea a lo sumo D y que la distancia entre b y c no supere D, no implica necesariamente que la distancia entre a y c no sea mayor que D. Esta relación de dependencia entre los números por su distancia no es una clase de equivalencia, pero si denota una dependencia entre ellos.

Conjunto preordenado[editar]

Una relación binaria define un conjunto preordenado si es reflexiva y transitiva:


Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Se dice que esta relación binaria define un conjunto preordenado, si cumple:

1.- Relación binaria reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

2.- Relación binaria transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.


   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

Relación de equivalencia[editar]

Una relación binaria es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva:[4]


Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Se dice que esta relación binaria es relación de equivalencia, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica si un elemento a está relacionado con otro b, entonces el b también está relacionado con el a.


   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \longrightarrow \quad
   (b,a) \in R

3.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.


   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

Una relación de equivalencia define dentro del conjunto A lo que se denominan, Clases de equivalencia, una clase de equivalencia o familia de elementos es cada uno de los subconjuntos en que la relación de equivalencia divide al conjunto A, entre ellos son disjuntos, y la unión de todos ellos es el conjunto A, veamos un ejemplo.

En Aritmética modular se define la operación modulo como el resto de la división, así:


   5 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 2 = 1

   6 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 3 = 0

   7 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 3 = 1
el resto de dividir 5 entre 2 es 1
el resto de dividir 6 entre 3 es 0
el resto de dividir 7 entre 3 es 1

se dice que dos números son congruentes modulo n, si al dividir cada uno de esos números por n dan el mismo resto:


   8 \equiv 17 \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} 3)

el 8 y el 17 son congruentes modulo 3 dado que al dividirlos por 3 en los dos casos dan por resto 2.

La congruencia modular de grado n, de los números naturales, es una Relación de equivalencia, dado que es reflexiva:


   \forall a \in \N : \;
   a \equiv a \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)

es simétrica:


   \forall a, b \in \N : \;
   a \equiv b \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
   \longrightarrow \quad
   b \equiv a \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)

y es transitiva


   \forall a, b, c \in \N : \;
   \Big (
      a \equiv b \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
      \quad \land \quad
      b \equiv c \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a \equiv c \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)

Conjunto parcialmente ordenado[editar]

Un conjunto A se dice que esta parcialmente ordenado respecto a una relación binaria R si la relación R es reflexiva, transitiva y antisimétrica:

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \}

Se dice que esta relación binaria define un conjunto parcialmente ordenado, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.


   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.


   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a = b

Tomando un conjunto A, formado, por ejemplo, por los elementos:


   A = \{ a, b, c \} \;

Se define el Conjunto potencia de A como el formado por todos los subconjuntos de A:


   P (A) =
   \Big\{
      \{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\},
      \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c \} 
   \Big\}

A cada uno de estos subconjuntos los llamamos:


   A_1 = \{ \} \;

   A_2 = \{a\} \;

   A_3 = \{b\} \;

   A_4 = \{c\} \;

   A_5 = \{a, b\} \;

   A_6 = \{a, c\} \;

   A_7 = \{b, c\} \;

   A_8 = \{a, b, c\} \;

Y tomando dos de estos subconjuntos decimos que están relacionados por pertenencia si el primero es Subconjunto del segundo:


   R = 
   \Big\{
      (A_i , A_j )\in \; P (A)
      : \quad
      A_i \subseteq A_j
   \Big\}

La relación pertenencia entre los conjuntos potencia de A, es un conjunto parcialmente ordenado, al ser reflexiva:


   \forall A_i \in P (A) : \;
   A_i \subseteq A_i

Transitiva:


   \forall A_i, A_j, A_k \in P (A) : \;
   \Big (
      A_i \subseteq A_j
      \quad \land \quad
      A_j \subseteq A_k
   \Big )
   \longrightarrow \quad
    A_i \subseteq A_k

Antisimetrica:


   \forall A_i, A_j \in P (A) : \;
   \Big ( 
      A_i \subseteq A_j
      \quad \land \quad
      A_j \subseteq A_i
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   A_i = A_j

Por lo que el conjunto de las partes de A, respecto a la relación binaria pertenencia es un conjunto parcialmente ordenado.

Esta relación no es total dado que:


   \neg\forall (A_i, A_j) \in P (A) : \;
   A_i \subseteq A_j
   \quad \lor \quad
   A_j \subseteq A_i

Que se denominan no comparables, los pares de conjuntos no comparables son:

OrdenParcial.svg

   1. \;
   \Big(\{a\}, \{b\} \Big) \notin R
   \; : \quad 
   \{a\} \nsubseteq \{b\}
   \; \land \;
   \{b\} \nsubseteq \{a\}

   2. \;
   \Big( \{a\}, \{c\} \Big) \notin R
   \; :\quad
   \{a\} \nsubseteq \{c\}
   \; \land \;
   \{c\} \nsubseteq \{a\}

   3. \;
   \Big( \{b\}, \{c\} \Big) \notin R
   \; :\quad
   \{b\} \nsubseteq \{c\}
   \; \land \;
   \{c\} \nsubseteq \{b\}

   4. \;
   \Big( \{a\}, \{b, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a\} \nsubseteq \{b, c\}
   \; \land \;
   \{b, c\} \nsubseteq \{a\}

   5. \;
   \Big( \{b\}, \{a, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{b\} \nsubseteq \{a, c\}
   \; \land \;
   \{a, c\} \nsubseteq \{b\}

   6. \;
   \Big( \{c\}, \{a, b\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{c\} \nsubseteq \{a, b\}
   \; \land \;
   \{a, b\} \nsubseteq \{c\}

   7. \;
   \Big( \{a, b\}, \{a, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a, b\} \nsubseteq \{a, c\}
   \; \land \;
   \{a, c\} \nsubseteq \{a, b\}

   8. \;
   \Big( \{a, b\}, \{b, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a, b\} \nsubseteq \{b, c\}
   \; \land \;
   \{b, c\} \nsubseteq \{a, b\}

   9. \;
   \Big( \{a, c\}, \{b, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a, c\} \nsubseteq \{b, c\}
   \; \land \;
   \{b, c\} \nsubseteq \{a, c\}

A la vista del diagrama, los conjuntos que se pueden alcanzar siguiendo el sentido de las flechas se denominan comparables y determinan la estructura del orden parcial.

Orden total[editar]

Un conjunto A se dice que esta totalmente ordenado respecto a una relación binaria R si la relación R es reflexiva, transitiva, antisimétrica y total:


Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Se dice que esta relación binaria define un orden total, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.


   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.


   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a = b

4.- Relación total: la relación R es total si para cualquiera dos elemento del conjunto: a, b; o a está relacionado con b ó bien b está relacionado con a.


   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \lor \quad
   (b,a) \in R

Si tomamos el conjunto de los números enteros Z, por ejemplo, respecto a la relación binaria entre sus elementos menor o igual, podemos ver que es reflexiva:


   \forall a \in \Z : \;
   a \le a

es transitiva:


   \forall a, b, c \in \Z : \;
   \Big (
      a \le b
      \quad \land \quad
      b \le c
   \Big )
   \longrightarrow \quad
 a \le c

es antisimetrica:


   \forall a,b \in \Z : \;
   \Big (
      a \le b
      \quad \land \quad
      b \le a
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a = b

y es total:


   \forall a, b \in \Z : \;
   a \le b
   \quad \lor \quad
   b \le a

Conjunto bien ordenado[editar]

Dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, se dice que es un conjunto bien ordenado si cumple:


Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos


   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Se dice que esta relación binaria define un conjunto bien ordenado, si cumple:

1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado consigo mismo.


   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.


   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.


   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a = b

4.- Relación total: la relación R es total si para cualquiera dos elemento del conjunto: a, b; o a está relacionado con b ó bien b está relacionado con a.


   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \lor \quad
   (b,a) \in R

5.- Relación bien fundada: dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, esta relación se dice bien fundada, si para todo subconjunto B de A se cumple que existe un m en B tal que para todo b de B, distinto de m, el par ordenado (b,m) no pertenece a R.


   \forall B \subset A
   \; , \quad
   \exists m \in B
   \; : \quad
   \forall b \in B
   \; \land \;
   b \ne m
   \; : \quad
   (b,m) \notin R

Relación binaria heterogénea[editar]

Correspon 0102.svg

Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea cuando A es distinto de B:


   R (a,b): \;
   (a,b) \in A \times B
   \quad \land \quad
   A \ne B

Lo que también se llama correspondencia matemática.[5] [6]

A la derecha podemos ver lo que se denomina un diagrama sagital, en el cual se representan los dos conjuntos de la relación binaria, asociando los elementos de uno y otro conjunto con una flecha, que sale del elemento origen y llega al elemento imagen, en el diagrama pueden verse un conjunto de pinceles con pintura de color y un conjunto de caras pintadas, asociando a cada pincel la cara que está pintada del mismo color.

Correspon 32.svg

Puede haber pinceles o caras del mismo color, pero deben ser considerados como elementos distintos del conjunto, si dos pinceles o dos caras son del mismo color tienen la misma característica color, siendo elementos del conjunto diferentes.

En el diagrama podemos ver el conjunto inicial ( o dominio ) de pinceles P, sobre el que está definida la relación:

 P = \{ \, Correspon P2.svg, Correspon P2.svg, Correspon P4.svg, Correspon P1.svg  \} \,

Solo algunos elementos del conjunto origen tienen asociado un elemento, estos elementos forman el conjunto origen:

 O = \{ \, Correspon P2.svg, Correspon P2.svg, Correspon P1.svg  \} \,

Y el conjunto final ( o codominio ) de caras pintadas C es:

 C = \{ \, Correspon C0.svg, Correspon C2.svg, Correspon C1.svg, Correspon C1.svg  \} \,

Los elementos del conjunto final a los que se les ha asociado un origen se llama conjunto imagen:

 I = \{ \, Correspon C2.svg, Correspon C1.svg, Correspon C1.svg  \} \,

La relación binaria es la formada por los pares ordenados:

 R =\, \{(  Correspon P2.svg, Correspon C2.svg  ) , \, (  Correspon P2.svg, Correspon C2.svg  ) , \, (  Correspon P1.svg, Correspon C1.svg  ) , \, (  Correspon P1.svg, Correspon C1.svg  ) \}\,

Una relación binaria homogénea:


   R (a,b): \;
   (a,b)\in A \times A

Puede ser tratada como heterogénea considerando el conjunto inicial y final como distintos, si lo que se está tratando es una correspondencia, con la misma validez que si los conjuntos serían distintos, pudiendo realizar simultáneamente su análisis como relación homogénea, si es factible.

Propiedades de las relaciones binarias heterogénea[editar]

Correspondencia matemática Correspondencia unívoca Correspondencia biunívoca Aplicación matemática Aplicación sobreyectiva Aplicación inyectiva Aplicación biyectiva Unicidad de imagen Unicidad de origen Existencia de imagen Existencia de origenClasiBinaEs 219.svg
Acerca de esta imagen


Partiendo de una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:


   R: A \rightarrow B

Por su importancia podemos distinguir las siguientes condiciones, que nos permiten diferenciar los subtipos de correspondencias.


Condición de existencia de imagen. (ei)[editar]

Correspon 1002.svg

La condición de existencia de imagen garantiza que tomando un elemento cualesquiera a de A tiene al menos una imagen b en B.


   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

para todo elemento a de A se cumple que existe al menos un b de B, a y b estén relacionado.

En la figura podemos ver el conjunto P de los pinceles:

 P = \{ \, Correspon P2.svg, Correspon P4.svg  \} \,

y el C de las caras pintada:

 C = \{ \, Correspon C1.svg, Correspon C2.svg, Correspon C4.svg, Correspon C4.svg  \} \,

Si relacionamos cada pincel con la cara pintada del mismo color, podemos ver que todos los pinceles tienen al menos una cara asociada.

Condición de existencia de origen. (eo)[editar]

Correspon 0702.svg

La condición de existencia de origen garantiza que todo elemento b de B tiene al menos un origen a en A.


   \forall b \in B: \;
   \exists a \in A
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

para todo b de B se cumple que existe un a en A y que a y b están relacionados.

Si vemos la figura podemos ver el conjunto P de pinceles con pintura:

 P = \{ \, Correspon P0.svg, Correspon P4.svg, Correspon P4.svg, Correspon P1.svg  \} \,

y el conjunto C de caras pintada:

 C = \{ \, Correspon C0.svg, Correspon C4.svg  \} \,

Y que todas y cada una de las caras tiene al menos un pincel de su mismo color. Cada uno de los elementos del conjunto final tiene un origen.

Condición de unicidad de imagen. (ui)[editar]

Correspon 0502.svg

La condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos a de A que están relacionados con algún b de B está relacionado con un único elemento b de B, es decir:


   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \and \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad 
   b_1 = b_2.

si un elemento a de A está relacionado con dos elementos b de B esos dos elementos son iguales.

Condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos que tienen imagen tengan una sola imagen, pero no garantiza que todos los elementos de A tengan imagen, esta diferencia es importante.

En el diagrama sagital de la derecha vemos el conjunto P:

 P = \{ \, Correspon P0.svg, Correspon P2.svg, Correspon P2.svg, Correspon P1.svg  \} \,

Y el conjunto final C, de caras pintada:

 C = \{ \, Correspon C0.svg, Correspon C2.svg, Correspon C4.svg  \} \,

Los pinceles que tienen una cara relacionada, tienen una sola cara relacionada.

Condición de unicidad de origen. (uo)[editar]

Correspon 0202.svg

La condición de unicidad de origen dice: que los elementos b de B que están relacionados con algún a de A está relacionado solo con un único elemento a de A, es decir:


   \Big (
      (a_1,b)\in R
      \quad \and \quad
      (a_2,b) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad 
   a_1 = a_2.

En el diagrama tenemos el conjunto inicial P de pinceles con pintura de colores:

 P = \{ \, Correspon P0.svg, Correspon P2.svg, Correspon P4.svg, Correspon P1.svg  \} \,

y el conjunto final C de caras pintadas:

 C = \{ \, Correspon C5.svg, Correspon C2.svg, Correspon C4.svg, Correspon C4.svg  \} \,

Relacionando cada pincel con la cara de su mismo color, podemos ver que las caras que tienen un pincel relacionado, solo tienen un pincel relacionado, esto es un solo origen, no todas las caras tienen un origen, pero las que lo tienen, tienen un solo origen.

Galería de ejemplos[editar]

Según las cuatro condiciones expuestas, cada una de ellas independiente de las demás, podemos ver una serie de ejemplos ilustrativos de los casos que se pueden presentar.

Utilizaremos como conjunto inicial el conjunto de tubos de pintura T, y como conjunto final el de pinceles P, asociando cada tubo de pintura con el pincel del mismo color.

Correspon 0101.svg
Correspondencia
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: no
Existencia origen: no
Unicidad origen: no
Correspon 0301.svg
Correspondencia
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: no
Existencia origen: no
Unicidad origen: no
Correspon 0201.svg
C. Unívoca
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: si
Existencia origen: no
Unicidad origen: no
Correspon 0401.svg
Aplicación
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: si
Existencia origen: no
Unicidad origen: no
Correspon 0901.svg
Correspondencia
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: no
Existencia origen: si
Unicidad origen: no
Correspon 1101.svg
Correspondencia
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: no
Existencia origen: si
Unicidad origen: no
Correspon 1001.svg
C. Unívoca
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: si
Existencia origen: si
Unicidad origen: no
Correspon 1201.svg
A. Sobreyectiva
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: si
Existencia origen: si
Unicidad origen: no
Correspon 0501.svg
Correspondencia
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: no
Existencia origen: no
Unicidad origen: si
Correspon 0701.svg
Correspondencia
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: no
Existencia origen: no
Unicidad origen: si
Correspon 0601.svg
C. Biunívoca
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: si
Existencia origen: no
Unicidad origen: si
Correspon 0801.svg
A. Inyectiva
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: si
Existencia origen: no
Unicidad origen: si
Correspon 1301.svg
Correspondencia
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: no
Existencia origen: si
Unicidad origen: si
Correspon 1501.svg
Correspondencia
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: no
Existencia origen: si
Unicidad origen: si
Correspon 1401.svg
C. Biunívoca
Existencia imagen: no
Unicidad imagen: si
Existencia origen: si
Unicidad origen: si
Correspon 1601.svg
A. Biyectiva
Existencia imagen: si
Unicidad imagen: si
Existencia origen: si
Unicidad origen: si

Clases de las relaciones binarias heterogénea[editar]

Correspondencia matemática Correspondencia unívoca Correspondencia biunívoca Aplicación matemática Aplicación sobreyectiva Aplicación inyectiva Aplicación biyectivaClasiBinaEs 003.svg
Acerca de esta imagen

Partiendo de las características de las relaciones binarias heterogéneas, podemos diferenciar los siguientes casos.


Correspondencia unívoca[editar]

Una correspondencia es unívoca si cumple la condición de unicidad de imagen:

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:


   R: A \rightarrow B

Esta relación es una correspondencia unívoca, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:


   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \and \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   b_1 = b_2.

Esta condición en necesaria y suficiente para que una correspondencia sea considerada unívoca.

Correspondencia biunívoca[editar]

Una correspondencia es biunívoca si cumple las condiciones de unicidad de imagen y unicidad de origen:

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:


   R: A \rightarrow B

Esta relación es una correspondencia biunívoca, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:


   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \and \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   b_1 = b_2.

2.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origen si los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:


   \Big (
      (a_1,b)\in R
      \quad \and \quad
      (a_2,b) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   a_1 = a_2.

Aplicación[editar]

Una correspondencia R: A \to B se denomina aplicación si todo elemento de A admite una única imagen en B.,[7] [8] [9] [10] [11] [12] esto es si cumple la condición de unicidad de imagen y de existencia de imagen.

Una aplicación f de A en B, siendo A y B dos conjuntos cualesquiera, es una correspondencia entre A y B, total y unívoca.[13] según otra nomenclatura.

Si la aplicación la representamos como R, tendremos:


   \begin{array}{rcl}
      R : \; A & \to     & B       \\
      a        & \mapsto & b = R(a)
   \end{array}

por la que definimos una aplicación que a cada elemento a de A se le asigna un único b de B.


   \forall a \in A
   \, : \quad
   \exists !  b \in B
   \; / \quad
   b = R(a)

Para todo a de A, se cumple que existe un único b de B, tal que b es el resultado R(a).

El término función se suele utilizar cuando los conjuntos inicial y final son numéricos.[14]
Una función es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.[15]
En inglés una aplicación se llama map[16]


Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:


   R: A \rightarrow B

Esta relación es una aplicación, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:


   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \and \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   b_1 = b_2.

2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:


   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

Si una correspondencia cumple estas dos condiciones se denomina aplicación.

Aplicación inyectiva[editar]

Una correspondencia es una aplicación inyectiva si cumple la condición de unicidad de imagen, existencia de imagen y unicidad de origen.

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:


   R: A \rightarrow B

Esta relación es una aplicación inyectiva, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:


   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \and \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   b_1 = b_2.

2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:


   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

3.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origen si los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:


   \Big (
      (a_1,b)\in R
      \quad \and \quad
      (a_2,b) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   a_1 = a_2.

Como puede verse una aplicación que cumple la condición de unicidad de origen es una Aplicación inyectiva.

De otra forma no tan usual, podemos decir que una correspondencia biunívoca que cumpla la condición de existencia de imagen también es una aplicación inyectiva.

Aplicación sobreyectiva[editar]

Una correspondencia se llama Aplicación sobreyectiva si cumple la condición de unicidad de imagen, existencia de imagen y existencia de origen:

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:


   R: A \rightarrow B

Esta relación es una aplicación sobreyectiva, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:


   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \and \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   b_1 = b_2.

2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:


   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

3.- Existencia de origen: se dice que cumple la condición de existencia de origen si para todos los elementos b de B existe al menos un origen a en A:


   \forall b \in B: \;
   \exists a \in A
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

Se puede decir que una aplicación sobreyectiva, es una aplicación que cumple la condición de existencia de origen.

Aplicación biyectiva[editar]

Una correspondencia es una aplicación biyectiva si cumple las condiciones de unicidad de imagen, existencia de imagen, unicidad de origen y existencia de origen:

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:


   R: A \rightarrow B

Esta relación es una aplicación biyectiva, si cumple:

1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:


   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \and \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   b_1 = b_2.

2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:


   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

3.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origen si los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:


   \Big (
      (a_1,b)\in R
      \quad \and \quad
      (a_2,b) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad 
   a_1 = a_2.

4.- Existencia de origen: se dice que cumple la condición de existencia de origen si para todos los elementos b de B existe al menos un origen a en A:


   \forall b \in B: \;
   \exists a \in A
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

Una Aplicación es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.

Propiedades[editar]

Las relaciones binarias pueden tener o no estas propiedades. R será:

Relación simétrica  \forall a,b\in A,\; (a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\in R
Relación antisimétrica  \forall a,b\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; a \neq b \Rightarrow (b,a) \notin R
Relación reflexiva  \forall a\in A,\; (a,a)\in R
Relación irreflexiva  \forall a\in A,\; (a,a)\notin R
Relación transitiva  \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R  \Rightarrow (a,c)\in R
Relación intransitiva  \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R  \Rightarrow (a,c)\notin R
Relación circular  \forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R  \Rightarrow (c,a)\in R
Relación total  \forall a, b \in A: \quad a R b \quad \or \quad b R a

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. «Relaciones binarias» (en español) (pdf) (1 de 2004). Consultado el 19 de junio de 2011.
  2. «RELACIÓN BINARIA» (en español) (11 de 2007).
  3. Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando (1981). «2.2 Relaciones binarias». Álgebra lineal (1 edición). Ediciones Pirámide, S.A. p. 71. ISBN 978-84-368-0174-3. 
  4. Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando (1981). «2.3. Relaciones de equivalencia». Álgebra lineal (1 edición). Ediciones Pirámide, S.A. p. 74. ISBN 978-84-368-0174-3. 
  5. José Juan Carreño Carreño (10 de 2008). «ÁLGEBRA Curso 2008/09» (en español) (pdf) págs. 12.
  6. 1, ed. (2004). Notas de álgebra. Universidad Politécnica de Valencia. Servicio de Publicaciones. p. 18. ISBN 978-84-9705-623-6. 
  7. José Juan Carreño Carreño (10 de 2008). «ÁLGEBRA Curso 2008/09» (en español) (pdf) págs. 13.
  8. Mario López Gómez (9 de 2005). «Algebra I» (en español) (pdf) págs. 5.
  9. 1, ed. (2004). Notas de álgebra. Universidad Politécnica de Valencia. Servicio de Publicaciones. p. 18. ISBN 978-84-9705-623-6. 
  10. Gregori Gregori, Valentín; Ferrando, J. C. (2011). Matemática discreta (8 edición). Editorial Reverté, S.A. p. 48. ISBN 978-84-291-5179-4. 
  11. Alegre Gil, Carmen; Martínez Pastor, Ana; Pedraza Aguilera, M Carmen (1997). Problemas de matemática discreta (1 edición). Universidad Politécnica de Valencia. Servicio de Publicaciones. p. 189. ISBN 978-84-7721-495-3. 
  12. Ayres, Frank (1992). Álgebra moderna (1 edición). McGraw-Hill. p. 6. ISBN 968-422-917-8. 
  13. Gran enciclopedia temática Plaza. Matemáticas (2 edición). Plaza & Janés Editores, S.A. 1993. p. 72 |página= y |páginas= redundantes (ayuda). ISBN 978-84-01-61659-4. 
  14. Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando (1981). «3.2. Aplicaciones o funciones». Álgebra lineal (1 edición). Ediciones Pirámide, S.A. p. 131. ISBN 978-84-368-0174-3. 
  15. Alejandro Carreiras. «Monografias.com: Ayuda Matemáticas ESO.» (en español) págs. 2. Funciones.
  16. Maravall Casesnoves, Dario (1982). Diccionario de matematicas modernas (2 edición). Editorial nacional. ISBN 84-276-1235-4. 

Bibliografía[editar]

  1. González Gómez, Antonia (6 de 2009). Álgebra lineal. Fundación Conde del Valle de Salazar. ISBN 978-84-96442-28-3. 
  2. Baquerizo Azofra, Clara (4 de 2008). Matemática discreta y álgebra lineal (1 edición). Martín Gómez, Emilia. ISBN 978-84-612-3787-6. 
  3. Climent Coloma, Joan Josep (6 de 2001). Álgebra. Teoría de conjuntos y estructuras algebraicas (1 edición). Editorial Club Universitario. ISBN 978-84-8454-081-6. 
  4. Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando (1981). Álgebra lineal (1 edición). Ediciones Pirámide, S.A. ISBN 978-84-368-0174-3. 
  5. Losada Rodríguez, Ramón (7 de 1978). Análisis matemático. Ediciones Pirámide, S.A. ISBN 978-84-368-0096-8. 
  6. Losada Rodríguez, Ramón (9 de 1973). Conjuntos Álgebra Lineal (2 edición). ISBN 978-84-400-6592-6. 

Enlaces externos[editar]