Producto cartesiano

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En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par ordenado del primer conjunto y el segundo elemento del par ordenado del segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos:


   A =
   \{1, 2, 3, 4\}

y


   B =
   \{a,b\}

su producto cartesiano es:


   \begin{array}{r|cccc}
        b & (1,b) & (2,b) & (3,b) & (4,b) \\
        a & (1,a) & (2,a) & (3,a) & (4,a) \\
      \hline
      A \times B  & 1     & 2     & 3 & 4 \\    
   \end{array}

que se representa:


   A \times B =
   \{ (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b) \}

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.[1]

Definición[editar]

Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b), donde a es el «primer elemento» y b el «segundo elemento». Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos:

El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B cuyos elementos son los pares ordenados (a, b), donde a es un elemento de A y b un elemento de B:

A \times B = \{ (a, b) : a \in A \text{ y } b \in B \}

Puede definirse entonces el cuadrado cartesiano de un conjunto como A2 = A × A.

El conjunto Z2 puede visualizarse como el conjunto de puntos en el plano cuyas coordenadas son números enteros.

Ejemplos[editar]

Baraja francesa

Sean los conjuntos R = {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} y P = {♠, , , ♣} (los rangos y palos de la baraja inglesa). El producto cartesiano de estos conjuntos, B , es el conjunto de todas las parejas rango-palo:

B = R × P = {(A, ♠), (2, ♠), ..., (K, ♠), (A, ), ... (K, ), (A, ), ..., (K, ), (A, ♣), ..., (K, ♣) }

El conjunto B puede entenderse entonces como el conjunto de las 52 cartas de la mencionada baraja.

Números enteros

Sea el conjunto de los números enteros Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}. El producto cartesiano de Z consigo mismo es Z2 = Z × Z = { (0,0), (0, +1), (0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (−1, 0), ... }, es decir, el conjunto de los pares ordenados cuyas componentes son enteros. Para representar los números enteros se utiliza la recta numérica, y para representar el conjunto Z2 se utiliza un plano cartesiano (en la imagen).

Pintura y pinceles

Sean los conjuntos T de tubos de pintura, y P de pinceles:

 T = \{ \, Correspon T0.svg, Correspon T1.svg, Correspon T2.svg, Correspon T3.svg  \} \,
 P = \{ \, Correspon P0.svg, Correspon P1.svg, Correspon P2.svg, Correspon P3.svg, Correspon P4.svg  \} \,

El producto cartesiano de estos dos conjuntos, T × P, contiene todos los posibles emparejamientos de pinceles y tubos de pintura. De manera similar al caso de un plano cartesiano en el ejemplo anterior, este conjunto puede representarse mediante una tabla:

Correspon P4.svg CorresCartesi 40.svg CorresCartesi 41.svg CorresCartesi 42.svg CorresCartesi 43.svg
Correspon P3.svg CorresCartesi 30.svg CorresCartesi 31.svg CorresCartesi 32.svg CorresCartesi 33.svg
Correspon P2.svg CorresCartesi 20.svg CorresCartesi 21.svg CorresCartesi 22.svg CorresCartesi 23.svg
Correspon P1.svg CorresCartesi 10.svg CorresCartesi 11.svg CorresCartesi 12.svg CorresCartesi 13.svg
Correspon P0.svg CorresCartesi 00.svg CorresCartesi 01.svg CorresCartesi 02.svg CorresCartesi 03.svg
Correspon T0.svg Correspon T1.svg Correspon T2.svg Correspon T3.svg

Generalizaciones[editar]

Caso finito[editar]

Dado un número finito de conjuntos A1, A2, ..., An, su producto cartesiano se define como el conjunto de n-tuplas cuyo primer elemento está en A1, cuyo segundo elemento está en A2, etc.

El producto cartesiano de un número finito de conjuntos A1, ..., An es el conjunto de las n-tuplas cuyo elemento k-ésimo pertenece a Ak, para cada 1 ≤ kn:

A_1\times\ldots\times A_n=\{(a_1,\ldots,a_n):a_1\in A_1\,,\ldots,\,a_n\in A_n\}

Puede definirse entonces potencias cartesianas de orden superior a 2, como A3 = A × A × A, etc. Dependiendo de la definición de n-tupla que se adopte, esta generalización puede construirse a partir de la definición básica como:

A_1 \times \ldots \times A_n = A_1 \times (A_2 \times (\ldots \times A_n) \ldots )

o construcciones similares.

Caso infinito[editar]

En el caso de una familia de conjuntos arbitraria (posiblemente infinita), la manera de definir el producto cartesiano consiste en cambiar el concepto de tupla por otro más cómodo. Si la familia está indexada, una aplicación que recorra el conjunto índice es el objeto que distingue quién es la «entrada k-ésima»:

El producto cartesiano de una familia indexada de conjuntos F = {Ai}i I es el conjunto de las aplicaciones f : IF cuyo dominio es el conjunto índice I y sus imágenes son elementos de algún Ai; que cumplen que para cada i I se tiene f(i) Ai:

\prod_{i\in I}A_i=\left\{f:I\to\bigcup F\ |\text{ para cada }i\in I\,,f(i)\in A_i \right\}

donde F denota la unión de todos los Ai. Dado un j I, la proyección sobre la coordenada j es la aplicación:

\pi_j:\prod_{i\in I}A_i\to A_j\ ,\ \pi_j(f)=f(j)

En el caso de una familia finita de conjuntos {A1, ..., An} indexada por el conjunto In = {1, ..., n}, según la definición de n-tupla que se adopte, o bien las aplicaciones f : Ini Ai de la definición anterior son precisamente n-tuplas, o existe una identificación natural entre ambos objetos; por lo que la definición anterior puede considerarse como la más general.

Sin embargo, a diferencia del caso finito, la existencia de dichas aplicaciones no está justificada por las hipótesis más básicas de la teoría de conjuntos. Estas aplicaciones son de hecho funciones de elección cuya existencia sólo puede demostrarse en general si se asume el axioma de elección. De hecho, la existencia de funciones de elección (cuando todos los miembros de F son no vacíos) es equivalente a dicho axioma.

Propiedades[editar]

El conjunto vacío actúa como el cero del producto cartesiano, pues no posee elementos para construir pares ordenados:

Un producto cartesiano donde algún factor sea el conjunto vacío es vacío. En particular:

A\times\varnothing=\varnothing\times A=\varnothing

El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo en general, salvo en casos muy especiales. Lo mismo ocurre con la propiedad asociativa.

En general:

A\times B\neq B\times A\quad,\quad A\times(B\times C)\neq (A\times B)\times C

Puesto que el producto cartesiano puede representarse como una tabla o un plano cartesiano, es fácil ver que el cardinal del conjunto producto es el producto de los cardinales de cada factor:

  • El producto cartesiano de un número finito de conjuntos finitos es finito a su vez. En particular, su cardinal es el producto de los cardinales de cada factor:

|A_1\times\ldots A_n|=|A_1|\cdot\ldots\cdot|A_n|

  • El producto cartesiano de una familia de conjuntos no vacíos que incluya algún conjunto infinito es infinito a su vez.

En teoría de conjuntos, la fórmula anterior de cardinal del producto cartesiano como producto de los cardinales de cada factor, sigue siendo cierta utilizando cardinales infinitos.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. El nombre es debido a Fréchet. Véase García Alonso, Fernando Luis; Pérez Carrió, Antonio; Reyes Perales, Jose Antonio. Fundamentos de matemática aplicada. Editorial Club Universitario. ISBN 9788484549390. 

Bibliografía[editar]

  • Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.