Potencia de un conjunto

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La potencia de un conjunto es un conjunto definido a partir de las propiedades del producto cartesiano. No debe confundirse este concepto con el de conjunto potencia que se obtiene sin recurrir a las propiedades del producto cartesiano.

Potencia de un conjunto ordinario[editar]

Dado un conjunto ordinario A\, que no representa ninguna estructura particular se define la n-ésima potencia como la aplicación iterada del producto cartesiano:

\begin{cases} A^1 = A \\
A^2 = A\times A \\ \dots \\ A^{n+1} = A\times A^n = A^n \times A \end{cases}

La definición anterior puede extenderse a potencias infinitas donde n puede ser un número ordinal (teoría de conjuntos) cualquiera, no necesariamente finito.

Potencia de una relación binaria[editar]

Dada una relación binaria \mathcal{R} \subset A\times A definida sobre un conjunto A se definen las potencias de dicha relación mediante:

\begin{cases} \mathcal{R}^1=\mathcal{R} \\
\mathcal{R}^2=\mathcal{R}\times_R\mathcal{R}
:= \{(x,y)\in A\times A|\exists z\in A:x\mathcal{R}z \land z\mathcal{R}y\} \\ \dots \\
\mathcal{R}^{n+1}= \mathcal{R}\times_R \mathcal{R}^n \end{cases}

La noción de potencia de relación permite por ejemplo construir la clausura transitiva de una relación binaria cualquiera como unión generalizada de las sucesivas potencias.

Potencia tensorial[editar]

Dado un espacio vectorial H\, se pueden definir sus potencias tensoriales \otimes^n H mediante el producto tensorial ordinario:

\begin{cases} H^1 = H \\
H^2 = H\otimes H \\ \dots \\ \otimes^{n+1}H = (\otimes^nH)\otimes H \end{cases}

Potencia de un número ordinal[editar]