Operación matemática

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Operadores suma, resta, multiplicación y división.

En álgebra, una operación es la aplicación de un operador sobre los elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como ley de composición.

En aritmética y cálculo el conjunto de partida puede estar formado por elementos de un único tipo (las operaciones aritméticas actúan sólo sobre números) o de varios (el producto de un vector por un escalar engloba al conjunto unión de vectores y escalares que conforman un espacio vectorial).

Dependiendo de cómo sean los conjuntos implicados en la operación con respecto al conjunto considerado principal según nuestras intenciones podemos clasificar las operaciones en dos tipos: internas y externas.


Propiedades de las operaciones[editar]

  • La operación de multiplicación (×)
    • se escribe \, (a \times b) o \,( a \cdot b )
    • es conmutativa: \, (a \cdot b ) =  \, (b \cdot a)
    • es asociativa:  \, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
    • se abrevia por yuxtaposición:  a \cdot b \equiv ab
    • tiene una operación inversa, para números diferentes a cero, llamada división:  \frac{(ab)}{b} = a , que es igual a multiplicar por el recíproco,  \frac{a}{b} = a \left(\frac{1}{b} \right)
    • tiene un elemento neutro 1 que no altera la multiplicación:  a \times 1 = a
    • es distributiva respecto la adición:  \, (a + b) \cdot c = ac + bc
  • La operación de potenciación
    • se escribe  \, a^{b}
    • es una multiplicación repetida:  a^{n} = a \times a \times \ldots \times a (n veces)
    • no es ni comutativa ni asociativa: en general  \, a^{b}  \ne b^{a} y  \, (a^{b})^{c} \ne a^{(b^{c})}
    • tiene una operación inversa, llamada logaritmo:  \, a^{log_{a} b}= b = log_{a} a^{b}
    • puede ser escrita en términos de raíz n-ésima:  \ a^{m/n} \equiv    (\sqrt[n]{a^{m}}) y por lo tanto las raíces pares de números negativos no existen en el sistema de los números reales. (Ver: sistema de números complejos)
    • es distributiva con respecto a la multiplicación:  \, (a \cdot b)^{c} = a^{c} \cdot b^{c}
    • tiene la propiedad:  \ {a^{b}} \cdot {a^{c}} = a^{b + c}
    • tiene la propiedad:  \, (a^{b})^{c} = a^{bc} [1]

Orden de las operaciones[editar]

Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular, conocido como el orden de prioridad o el orden de precedencia de las operaciones. Primero se calculan los valores de las expresiones encerradas en signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), luego las de exponenciaciones, luego las multiplicaciones y divisiones y, por último, las sumas y las restas.

Propiedades de la igualdad[editar]

La relación de igualdad (=) es:

Leyes de la igualdad[editar]

La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:

  • si  \, a = b y  \, c = d entonces  \, a + c = b + d y  \, ac = bd
  • si  \,a = b entonces  \, a + c = b + c
  • si dos símbolos son iguales, entonces uno puede ser sustituido por el otro.
  • regularidad de la suma: trabajando con números reales o complejos sucede que si  \, a + c  = b + c entonces  \, a = b .
  • regularidad condicional de la multiplicación: si  \, a \cdot c  = b \cdot c y  \, c no es cero, entonces \, a = b .

Leyes de la desigualdad[editar]

La relación de desigualdad (<) tiene las siguientes propiedades:

  • de transitividad: si  \, a < b y  \, b < c entonces  \, a  < c
  • si  \, a < b y  \, c < d entonces  \, a + c <  b + d
  • si  \, a < b y  \, c > 0 entonces  \, ac <  bc
  • si  \, a < b y  \, c < 0 entonces  \, bc  < ac

Regla de los signos[editar]

En el producto y en el cociente de números positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas:


   \begin{cases}
      + \cdot -  = - \\
      + \cdot +  = + \\
      - \cdot -  = + \\
      - \cdot +  = -
   \end{cases}

Álgebra abstracta[editar]

Operación interna[editar]

Una operación  f_{}^{} es interna si, tanto los elementos iniciales como los finales pertenecen al único conjunto  A_{}^{} .


   f: \; A^I \to A \; , \; A^I =A \times A \times \cdots^I \times A = \prod_{i \in I} A_{i} \; , \;\; I
es un conjunto.

Que también puede expresarse:


   (a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n ) \; \xrightarrow{f} \; b

O también:


   f(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n ) \; \to \; b

Según la naturaleza del producto cartesiano inicial de la operación podemos diferenciar:

  • Operaciones finitas si el conjunto inicial  I_{}^{} es producto cartesiano finito.
  • Operaciones infinitas en caso contrario.

Operación n-aria[editar]

Diremos que f_{}^{} es una operación n-aria en el conjunto  A_{}^{}, si:

 f: A_{}^{n} \to A

a n_{}^{} \in \mathbb{N} se le llama la ariedad o anidad.

Operación binaria[editar]

Una operación es binaria cuando  n es igual a dos:


   \begin{array}{rrcl}
      \star : & \; A \times A & \to & A       \\
              &         (a,b) & \to & c = a \star b
   \end{array}

y también:

 a \star b \; \to \; c
 (a, b ) \; \xrightarrow{\star} \; c
 \star(a, b ) \; \to \; c

Ejemplo:

En el conjunto de los números naturales,  \mathbb{N} , la operación de adición: +: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N},  ( N , +) \, , con las diferentes expresiones:

  1.  a, b, c \in\mathbb{N}, \quad a + b \to c
  2.  a, b, c \in\mathbb{N}, \quad (a, b ) \; \xrightarrow{+} \; c
  3.  a, b, c \in\mathbb{N}, \quad +(a, b ) \; \to \; c

donde a y b son los sumandos y c el resultado de la suma.

Operación unaria[editar]

Una operación unaria, con un solo parámetro:


   \begin{array}{rrcl}
      \star : & \; A & \to & BA       \\
              &    a & \to & b = \star (a)
   \end{array}

también suelen denominarse funciones.

Ejemplos:

  • Dado el conjunto de los números naturales  \mathbb{N} , la operación unaria incremento o siguiente, como:

   \begin{array}{rrcl}
      in : & \; N & \to & N       \\
              &    a & \to & b = in(a)
   \end{array}

Donde:


   in (n ) = n+1 \; : \; n \in \mathbb{N}
  • Dado el conjunto de los números enteros  \mathbb{Z} , la operación opuesto, como:

   \begin{array}{rrcl}
      op : & \; Z & \to & Z       \\
          &    a & \to & b = op(a)
   \end{array}

esto es:


   op (e) = - e \; : \; e \in \mathbb{Z}

Operación 0-aria[editar]

Una operación 0-aria es cuando tenemos una operación  f: A^0 \to A es decir:


   \begin{array}{rrcl}
      \star : & \; \emptyset & \to & A       \\
              &           () & \to & b = \star ()
   \end{array}

Ejemplo: Una operación nularia suele devolver constantes, por ejemplo el valor de pi:


   \begin{array}{rrcl}
      pi : & \; \emptyset & \to & R       \\
            &           () & \to & a = pi ()
   \end{array}

Que asigna a a el valor real del número pi.

  • Una operación que designa un elemento distiguido de  A_{}^{} , en teoría de grupos sería el elemento neutro de un grupo.[2] [3]

Operación externa[editar]

Una ley de composición externa sobre un conjunto A con un conjunto B es una aplicación:


   \begin{array}{rrcl}
      \star : & \; B \times A & \to & A       \\
              &         (a,b) & \to & c = a \star b
   \end{array}

esta aplicación se dice que es una operación externa.

Ejemplo: Dado el conjunto  V_2 \; de los vectores en el plano y el conjunto de escalares  \R de números reales, tenemos que el producto de un número real por un vector en el plano es un vector en el plano:


   \begin{array}{rrcl}
      \cdot : &  R \times V_2 & \to & V_2      \\
              &   (a,\vec{v}) & \to & \vec{u} = a \cdot \vec{v}
   \end{array}

Dado el vector:


   \vec{v} = 3i +6j \;

Si lo multiplicamos por un escalar 3:


   3 \cdot \vec{v} = 3 \cdot (3i +6j) = (9i +18j) = \vec{u}

podemos ver que los dos vectores son del plano:


  (3i +6j), (9i +18j) \in V_2

Partiendo de los conjuntos A y B distintos, y una aplicación:


   \begin{array}{rrcl}
      \star : &  A \times A & \to & B       \\
              &       (a,b) & \to & c = a \star b
   \end{array}

se dice que también es una ley de composición externa. Por ejemplo el Producto escalar de dos vectores en el plano, da como resultado un número real, esto es:


   \begin{array}{rrcl}
      \circ : &    V_2 \times V_2 & \to & R       \\
              & (\vec{u},\vec{v}) & \to & a = \vec{u} \circ \vec{v}
   \end{array}

Tomando los vectores del plano:


   \vec{u} = (x_1, y_1)

   \vec{v} = (x_2, y_2)

Y siendo su producto escalar:


   \vec{u} \circ \vec{v} =
   (x_1, y_1) \circ (x_2, y_2) =
   x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2

Que da por resultado un número real, veamos un ejemplo numérico:


   \vec{u} = (3, 6)

   \vec{v} = (5, 2)

Operando


   \vec{u} \circ \vec{v} =
   (3, 6) \circ (5, 2) =
   3 \cdot 5 + 6 \cdot 2 =
   15 + 12 = 27

Referencias[editar]

  1. Mirsky, Lawrence, 1990, p.72-3
  2. J. Barja Perez, pg 7
  3. Donald w. Barnes, pg 2

Bibliografía[editar]

  • J. Barja Perez. Álgebras Universales en el Cálculo de Proposiciones. Universidad de Santiago de Compostela España. 1978.
  • Donald W. Barnes, John M. Mack. Una Introducción Algebraica a la Lógica Matemática. 1978.
  • Lang, Serge Álgebra lineal (1975), Fondo educativo interamericano S.A. impreso en Puerto Rico, segunda edición.

Véase también[editar]