Ley de composición

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En álgebra abstracta, la ley de composición son dos tipos concretos de operación binaria que dan lugar a las distintas estructuras algebraicas.

LeyDeComposicion.svg

Empleando los signos para representar las leyes de composición internas:


   \odot
   \; , \quad
   \circledcirc
   \; , \quad
   \oplus
   \; , \quad
   \ominus
   \; , \quad
   \circledast
   \; , \quad
   \otimes
   \; , \quad
   \oslash
   \; .

y estos signos, para representar las leyes de composición externa:


   \cdot
   \; , \quad
   \circ
   \; , \quad
   +
   \; , \quad
   -
   \; , \quad
   \ast
   \; , \quad
   \times
   \; , \quad
   \diagup
   \; .

para representar operaciones matemática sobre los conjuntos:


   A, B, C, \dots

Los elementos de los conjuntos los indicaremos con letras minúsculas:


   a, b, c, d, \dots

Podemos diferenciar ley de composición interna y externa.


   Ley \; de \; composici \acute{o} n
   \left \{
   \begin{array}{l}
      Interna : \quad A \times A \to A \\ \\
      Externa
      \left \{
      \begin{array}{ll}
         Por \; la \; derecha :  & A \times B \to A   \\ \\
         Por \; la \; izquierda :& B \times A \to A 
      \end{array}
      \right .
   \end{array}
   \right .

Ley de composición interna[editar]

Dado un conjunto A y una operación  \odot , que representaremos  (A, \odot ) :


   \begin{array}{rccl}
      \odot : & A \times A & \to & A             \\
              & (a,b)      & \to & c = a \odot b
   \end{array}

por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de A por A se le asigna un c de A.[1] [2]


   \forall (a,b) \in A \times A
   \, : \quad
   \exists !  c \in A
   \; / \quad
   c = a \odot b

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

Se llama ley de composición interna, que también se denomina Operación interna[3]

Ley de composición externa[editar]

Si los dos operados no pertenecen al mismo conjunto la ley de composición es externa,[4] pudiendo diferenciar:

Ley de composición externa por la derecha[editar]

Dado dos conjunto A y B, y una operación:  \cdot , que representaremos  (A, B, \cdot ) :


   \begin{array}{rccl}
      \cdot : & A \times B & \to & A             \\
              & (a,b)      & \to & c = a \cdot b
   \end{array}

por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de A por B, le asigna un c de A.[5]


   \forall (a,b) \in A \times B
   \, : \quad
   \exists !  c \in A
   \; / \quad
   c = a \cdot b

Para todo par ordenado (a,b) en A por B, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

Se denomina ley de composición externa por la derecha.

Ley de composición externa por la izquierda[editar]

Del mismo modo también se considera ley de composición externa, que se denota:  (A, B, \circ ) :


   \begin{array}{rccl}
      \circ : & A \times B & \to & B             \\
              & (a,b)      & \to & c = a \circ b
   \end{array}

Donde a cada par de valores (a, b) de A por B se le asigna un valor c de B.[6]


   \forall (a,b) \in A \times B
   \, : \quad
   \exists !  c \in B
   \; / \quad
   c = a \circ b

Para todo par ordenado (a,b) en A por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de operar a con b.

Se denomina ley de composición externa por la izquierda.

Propiedades de las leyes de composición interna[editar]

Dado un conjunto A no vacío y definida una aplicación de A por A sobre A, donde a cada par ordenado (a,b) se le asigna un valor c de A, que representamos:  (A, \odot)


   \begin{array}{rccl}
      \odot : & A \times A & \to & A             \\
              & (a,b)      & \to & c = a \odot b
   \end{array}

Pueden tener las siguientes propiedades:

Conmutatividad[editar]

Se dice que esta ley de composición interna  (A, \odot) , tiene la propiedad conmutativa si:


   \forall a, b \in A
   \, : \quad
   a \odot b = b \odot a

para todo a, b de A, se cumple que operar a con b es igual a operar b con a.

Esto mismo también puede decirse:


   \nexists a, b \in A
   \, : \quad
 a \odot b \ne b \odot a

Una ley de composición interna  (A, \odot) , tiene la propiedad conmutativa si: no existen dos valores a, b en A, para los que el resultado de operar a con b sea distinto de operar b con a.

Asociatividad[editar]

Se dice que una ley de composición interna  ( A, \odot ) , tiene la propiedad asociativa si:


   \forall a, b, c \in A
   \, : \quad
   (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)

para todo a, b, c de A, se cumple que: operar a con b y el resultado con c, es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

Lo que también puede decirse:


   \nexists a, b, c \in A
   \, : \quad
   (a \odot b) \odot c \ne a \odot (b \odot c)

Una ley de composición interna  (A, \odot) , tiene la propiedad asociativa si: no existen valores a, b, c en A, para los que el resultado de operar a con el resultado de operar b con c, sea distinto de operar a con el resultado de operar b con c.

Distributividad[editar]

Dado un conjunto A, no vacío, en el que se han definido dos leyes de composición internas, que denotamos:  (A, \odot, \circledcirc) , tiene la primera propiedad distributiva sobre la segunda si es distributiva por la izquierda y por la derecha.

Distributividad por la izquierda[editar]

Para un conjunto A, no vacío, con dos leyes de composición internas:  ( A, \odot, \circledcirc ) , la primera es distributiva por la izquierda sobre la segunda si:


   \forall a, b, c \in A
   \, : \quad
   a \odot (b \circledcirc c) = (a \odot b) \circledcirc (a \odot c)

Para todo a, b, c de A, se cumple que: operar con la primera ley a con el resultado de operar con la segunda ley b con c, es igual al resultado de operar con la segunda ley los resultados de operar con la primera ley a con b y a con c.

Distributividad por la derecha[editar]

Para un conjunto A, no vacío, con dos leyes de composición internas:  ( A, \odot , \circledcirc ) , la primera es distributiva por la derecha sobre la segunda si:


   \forall a, b, c \in A
   \, : \quad
   (a \circledcirc b) \odot c= (a \odot c) \circledcirc (b \odot c)

Para todo a, b, c de A, se cumple que: operar con la primera ley, el resultado de operar por la segunda ley a con b, con c, es igual al resultado de operar con la segunda ley, los resultados de operar con la primera ley a con c y b con c.

Elemento neutro[editar]

Para un conjunto A, no vacío, dotado de una ley de composición interna:  ( A, \odot ) , se dice que este conjunto, con esta ley de composición interna, tiene elemento neutro: e, si se cumple que:


   \forall a \in A
   \, , \quad
   \exists e \in A
   \, : \quad
   a \odot e = a

Para todo a de A, existe un e de A que cumple que operando a con e el resultado es a.

Elemento simétrico[editar]

Para un conjunto A, no vacío, dotado de una ley de composición interna:  ( A, \odot ) , se dice que este conjunto con esta ley de composición interna, tiene elemento simétrico, si tiene elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, si se expresa del siguiente modo:


   \forall a \in A
   \, , \quad
   \exists \overline{a} \in A
   \, : \quad
   a \odot \overline{a} = \overline{a} \odot a = e

Para todo a en A, existe el simétrico de a en A, que cumple que operando a con su simétrico, es igual a operar el simétrico de a con a, y el resultado es el elemento neutro en el conjunto A, para la ley de composición interna: e.

Elemento simétrico por la izquierda[editar]

Un conjunto A, no vacío, dotado de una ley de composición interna:  ( A, \odot ) , tiene elemento simétrico por la izquierda, si:


   \forall a \in A
   \, , \quad
   \exists \overrightarrow{a} \in A
   \, : \quad
   \overrightarrow{a} \odot a = e

Para todo a en A, existe el simétrico por la izquierda de a en A, que cumple que operando el simétrico de a con a, el resultado es el elemento neutro: e, en el conjunto A, para la ley de composición interna.

Elemento simétrico por la derecha[editar]

Un conjunto A, no vacío, dotado de una ley de composición interna:  ( A, \odot ) , tiene elemento simétrico por la derecha, si:


   \forall a \in A
   \, , \quad
   \exists \overleftarrow{a} \in A
   \, : \quad
   a \odot \overleftarrow{a} = e

Para todo a en A, existe el simétrico por la derecha de a en A, que cumple que operando a con el simétrico de a, el resultado es el elemento neutro: e, en el conjunto A, para la ley de composición interna.

Propiedades de las leyes de composición externa[editar]

Conmutatividad[editar]

Dados dos conjuntos, no vacíos:


   A = \{a, b,c,d , \dots\}

   K = \{u, v, w, x, \dots \}

En el que se ha definido una ley de composición externa  \cdot , que representaremos  (A, K, \cdot ) :


   \begin{array}{rccl}
      \cdot : & A \times K & \to & A             \\
              & (a,u)      & \to & b = a \cdot u
   \end{array}

por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, u) de A por K, le asigna un b de A.


   \forall (a,u) \in A \times K
   \, : \quad
   \exists !  b \in A
   \; / \quad
   b = a \cdot u

Esta ley de composición tiene la propiedad conmutativa si de cumple que:


   \forall (a, u) \in A \times K
   \, : \quad
   a \cdot u = u \cdot a

por lo tanto esta ley de composición externa se puede definir indistintamente de estos dos modos:


   \begin{array}{rccl}
      \cdot : & A \times K & \to & A             \\
              & (a,u)      & \to & b = a \cdot u
   \end{array}

o de forma equivalente:


   \begin{array}{rccl}
       \cdot : & K \times A & \to & A             \\
               & (u,a)      & \to & b = u \cdot a
   \end{array}

Estas dos expresiones solo son iguales si la ley de composición es conmutativa, en el resto de los casos se debe tener cuidado en el orden de los operandos, dado que puede que la operación no pueda realizarse o que de resultados diferentes.

Distributividad[editar]

Dado un conjunto A y una ley de composición interna:  (A, \odot) y un segundo conjunto K, que junto con A tiene una ley de composición externa  (A, K, \cdot) . Dando lugar a la estructura algebraica: (A, K, \odot, \cdot) , la ley de composición externa es distributiva sobre la interna si es distributiva por la derecha y por la izquierda.

Distributiva por la derecha[editar]

Dado un conjunto A y una ley de composición interna:


   \begin{array}{rccl}
      \odot : & A \times A & \to & A             \\
              & (a,b)      & \to & c = a \odot b
   \end{array}

Y un segundo conjunto K que tiene con A una ley de composición externa:


   \begin{array}{rccl}
      \cdot : & K \times A & \to & A             \\
              & (u,a)      & \to & b = u \cdot a
   \end{array}

Se dice que la ley de composición externa es distributiva por la derecha sobre la interna si:


   u \cdot (a \odot b) =
   (u \cdot a) \odot (u \cdot b)

Distributiva por la izquierda[editar]

Dado un conjunto A que tiene una ley de composición interna:


   \begin{array}{rccl}
      \odot : & A \times A & \to & A             \\
              & (a,b)      & \to & c = a \odot b
   \end{array}

Y un conjunto K que tiene con A una ley de composición externa:


   \begin{array}{rccl}
      \cdot : & A \times K & \to & A             \\
              & (a,u)      & \to & b = a \cdot u
   \end{array}

Se dice que la ley de composición externa es distributiva por la izquerda sobre la interna cuando se cumple que:


   (a \odot b) \cdot u =
   (a \cdot u) \odot (b \cdot u)

Estructura algebraica[editar]

Dado uno o más conjuntos, dotados de una o más leyes de composición, cada uno de esos grupos de conjuntos y sus leyes de composición son una estructura algebraica, independientemente del aspecto del conjunto y de la ley de composición, distintos conjuntos y operaciones pueden tener una misma estructura algebraica que define las operaciones que se pueden realizar. Veamos algunas de estas estructuras algebraicas.

Un conjunto y una ley de composición interna[editar]

Estructura algebraica 02.svg Estructura algebraica Ley de composición Operación interna Asociatividad (álgebra) Elemento neutro Elemento simétrico Magma (álgebra) Semigrupo Monoide Grupo (matemática) Estructura algebraica Bucle(Álgebra)
Acerca de esta imagen

Dado un conjunto A y una ley de composición interna:  \odot , que representaremos como:  (A, \odot ) :


   \begin{array}{rccl}
      \odot : & A \times A & \to & A             \\
              & (a,b)      & \to & c = a \odot b
   \end{array}

En la que definimos una aplicación, que a cada par ordenado (a,b) de A por A se le asigna un c de A.


   \forall (a,b) \in A \times A
   \, : \quad
   \exists !  c \in A
   \; / \quad
   c = a \odot b

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

Podemos tener las siguientes estructuras algebraicas:

Magma
Semigrupo
Monoide
Grupo
Bucle

Como se puede ver en el esquema, cada una de las cuales puede tener la propiedad conmutativa, y en ese caso se denomina conmutativa o abeliana.

Magma[editar]

Dado un conjunto A no vacío, y una ley de composición interna  \circledcirc , que denotaremos;  (A, \circledcirc) , diremos que tiene estructura algebraica de magma, si cumple que:

1.- Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A, operados bajo  \circledcirc , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:


   \forall a, b \in A
   \; : \quad
   \exists ! c \in A
   \; / \quad
    c = a \odot b
.

Esta estructura garantiza:

La existencia del resultado de la operación, para todo a, b de A existe c de A que es el resultado de operar a con b.
La unicidad del resultado: para cada a, b de A existe un único c de A, que es el resultado de operar a con b.

Semigrupo[editar]


Dado un conjunto A no vacío, y una ley de composición interna  \odot , que denotaremos;  ( A, \odot ) , diremos que tiene estructura algebraica de semigrupo, si cumple que:

1.- Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo  \odot , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:


   \forall a, b \in A
   \; : \quad
   \exists ! c \in A
   \; / \quad
    c = a \odot b
.

2.- Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:


   \forall a, b, c \in A: \quad
   a \odot (b \odot c) =
   (a \odot b) \odot c
.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la ley de composición interna  \odot si:


   \forall a, b \in A: \quad
   a \odot b =
   b \odot a

Se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.

Monoide[editar]

Dado un conjunto A no vacío, y una ley de composición interna  \odot , que denotaremos;  (A, \odot) , diremos que tiene estructura algebraica de monoide, si cumple que:

1.- Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo  \circledcirc , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:


   \forall a, b \in A
   \; : \quad
   \exists ! c \in A
   \; / \quad
    c = a \odot b
.

2.- Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:


   \forall a, b, c \in A: \quad
   a \odot (b \odot c) =
   (a \odot b) \odot c
.

3.- Con Elemento neutro para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, existe un elemento e de A, que cumple:


   \forall a \in A : \quad
   \exists ! \, e \in A : \quad
   e \odot a = a \odot e = a

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la ley de composición interna  \odot si:


   \forall a, b \in A: \quad
   a \odot b =
   b \odot a

Se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.

Grupo[editar]

Dado un conjunto A no vacío, y una ley de composición interna  \odot , que denotaremos;  (A, \odot) , diremos que tiene estructura algebraica de grupo, si cumple que:

1.- Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo  \circledcirc , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:


   \forall a, b \in A
   \; : \quad
   \exists ! c \in A
   \; / \quad
    c = a \odot b
.

2.- Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:


   \forall a, b, c \in A: \quad
   a \odot (b \odot c) =
   (a \odot b) \odot c
.

3.- Con Elemento neutro para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, existe un elemento e de A, que cumple:


   \forall a \in A : \quad
   \exists ! \, e \in A : \quad
   e \odot a = a \odot e = a

4.- Con elemento simétrico respecto de la operación  \odot , esto es:


   a \in A , \quad
   \exists \bar{a} \in A : \quad
   \bar{a} \odot a =
   a \odot \bar{a} = e

Donde e es el elemento neutro.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la ley de composición interna  \odot si:


   \forall a, b \in A: \quad
   a \odot b =
   b \odot a

Se dice que es un grupo conmutativo o abeliano.

Bucle[editar]

Dado un conjunto A no vacío, y una ley de composición interna  \odot , que denotaremos;  (A, \odot) , diremos que tiene estructura algebraica de bucle, si cumple que:

1.- Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo  \odot , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:


   \forall a, b \in A
   \; : \quad
   \exists ! c \in A
   \; / \quad
    c = a \odot b
.

2.- Con Elemento neutro para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, existe un elemento e de A, que cumple:


   \forall a \in A : \quad
   \exists ! \, e \in A : \quad
   e \odot a = a \odot e = a

3.- Con elemento simétrico respecto de la operación  \odot , esto es:


   a \in A , \quad
   \exists \bar{a} \in A : \quad
   \bar{a} \odot a =
   a \odot \bar{a} = e

Donde e es el elemento neutro.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la ley de composición interna  \odot si:


   \forall a, b \in A: \quad
   a \odot b =
   b \odot a

Se dice que es un bucle conmutativo o abeliano.

Un conjunto y dos leyes de composición interna[editar]

EstructuraAlgebraica2.svg Estructura algebraica Ley de composición Grupo abeliano Distributividad Asociatividad (álgebra) Elemento neutro Elemento simétrico Anillo (matemática) Anillo unitario Cuerpo (matemáticas)
Acerca de esta imagen


Dado un conjunto A en el que se han definido dos leyes de composición interna:  \odot , \; \circledcirc, que representaremos como:  (A, \odot , \; \circledcirc) , donde la primera ley:


   \begin{array}{rcl}
      \odot : \; A \times A & \to & A             \\
      (a,b)                 & \to & c = a \odot b
   \end{array}

En la que definimos una aplicación, que a cada par ordenado (a,b) de A por A se le asigna un c de A.


   \forall (a,b) \in A \times A
   \, : \quad
   \exists !  c \in A
   \; / \quad
   c = a \odot b

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

Y la segunda ley:


   \begin{array}{rcl}
      \circledcirc : \; A \times A & \to & A             \\
      (a,b)                 & \to & d = a \circledcirc b
   \end{array}

En la que definimos una aplicación, que a cada par ordenado (a,b) de A por A se le asigna un d de A.


   \forall (a,b) \in A \times A
   \, : \quad
   \exists !  d \in A
   \; / \quad
   d = a \circledcirc b

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único d en A, tal que d es el resultado de operar a con b.

El conjunto A y las dos leyes de composición interna:  (A, \odot , \; \circledcirc) , dan lugar a las siguientes estructuras algebraicas:

Semianillo[editar]

Dado un conjunto A, y dos leyes de composición interna:  (A, \odot , \; \circledcirc) , diremos que  (A, \odot , \; \circledcirc) tiene estructura algebraica de semianillo, si se cumple que:

1.  (A, \odot ) , es un monoide.
2.  (A, \circledcirc) , es un monoide.
3.  \circledcirc es distributiva sobre  \odot

Anillo[editar]

Dado un conjunto A, y dos leyes de composición interna:  (A, \odot , \; \circledcirc) , diremos que  (A, \odot , \; \circledcirc) tiene estructura algebraica de anillo, si se cumple que:

1.  (A, \odot ) , es un grupo conmutativo.
2.  (A, \circledcirc) , es un semigrupo.
3.  \circledcirc es distributiva sobre  \odot

Cuerpo[editar]

Dado un conjunto A, y dos leyes de composición interna:  (A, \odot , \; \circledcirc) , diremos que  (A, \odot , \; \circledcirc) tiene estructura algebraica de cuerpo, si se cumple que:

1.  (A, \odot ) , es un grupo conmutativo.
2.  (\{A-\{e\} \}, \circledcirc) , es un grupo conmutativo.
3.  \circledcirc es distributiva sobre  \odot
Donde e es el elemento neutro en  (A, \odot ) .

Álgebra de Boole[editar]

Las estructuras algebraicas suelen estar orientadas a las operaciones con números, por lo cual el álgebra de Boole, no suele incluirse en este grupo; ésta define operaciones con los elementos de un conjunto y por lo tanto es una estructura algebraica:


Dado un conjunto A, y dos leyes de composición interna:  (A, \odot , \; \circledcirc) , diremos que  (A, \odot , \; \circledcirc) tiene estructura algebraica de Álgebra de Boole, si se cumple que:

1.  (A, \odot ) , es un monoide conmutativo.
2.  (A, \circledcirc) , es un monoide conmutativo.
3.  \circledcirc es distributiva sobre  \odot
4.  \odot es distributiva sobre  \circledcirc

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]

Referencias[editar]

  1. Lelong-ferrand, Jacqueline (1979). «2». Curso de matemáticas (en español) (2 edición). REVERTE. p. 47. ISBN 97-884-2915-065-0. 
  2. Díaz Martín, José Fernando (2005). Introducción al álgebra (en español) (1 edición). Gesbiblo SL. p. 117. ISBN 84-9745-128-7. 
  3. Padró, Francesc Comellas (2009). Univ. Politèc. de Catalunya, ed. Matemática discreta (en español) (1 edición). p. 203. ISBN 84-8301-456-4. 
  4. Díaz Martín, José Fernando (2005). Introducción al álgebra (en español) (1 edición). Gesbiblo SL. p. 125. ISBN 84-9745-128-7. 
  5. Lelong-ferrand, Jacqueline (1979). «2». Curso de matemáticas (en español) (2 edición). REVERTE. p. 47. ISBN 97-884-2915-065-0. 
  6. Lelong-ferrand, Jacqueline (1979). «2». Curso de matemáticas (en español) (2 edición). REVERTE. p. 47. ISBN 97-884-2915-065-0.