Cuerpo (matemáticas)

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En álgebra abstracta, un cuerpo o campo es una estructura algebraica en la cual las operaciones llamadas adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades: asociativa, conmutativa y distributiva de la multiplicación respecto de la adición,[1] además de la existencia de inverso aditivo, de inverso multiplicativo y de un elemento neutro para la adición y otro para la multiplicación, los cuales permiten efectuar las operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios.

Los cuerpos son estructuras algebraicas importantes de estudio en diversas ramas de la matemática: álgebra, análisis matemático, teoría de los números, puesto que proporcionan la generalización apropiada de dominios de números tales como los conjuntos de números racionales, de los números reales, o de los números complejos. Los cuerpos eran llamados dominios racionales.

El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir el concepto de espacio vectorial y las transformaciones en estos objetos, dadas por matrices, dos objetos en el álgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. La teoría de Galois estudia las relaciones de simetría en las ecuaciones algebraicas, desde la observación del comportamiento de sus raíces y las extensiones de cuerpos correspondientes y su relación con los automorfismos de cuerpos correspondientes.

Definición[editar]

Un cuerpo es un anillo de división conmutativo, es decir, un anillo conmutativo y unitario en el que todo elemento distinto de cero es invertible respecto del producto. Por tanto un cuerpo es un conjunto K en el que se han definido dos operaciones, + y ·, llamadas adición y multiplicación respectivamente, que cumplen las siguientes propiedades:

K es cerrado para la adición y la multiplicación

Para todo a, b en K, a + b y a · b pertenecen a K (o más formalmente, + y · son operaciones matemáticas en K);

Asociatividad de la adición y la multiplicación

Para toda a, b, c en K, a + (b + c) = (a + b) + c y a · (b · c) = (a · b) · c.

Conmutatividad de la adición y la multiplicación

Para toda a, b en K, a + b = b + a y a · b = b · a.

Existencia de un elemento neutro para la adición y la multiplicación

Existe un elemento 0 en K, tal que para todo a en K, a + 0 = a.
Existe un elemento 1 en K, diferente de 0, tal que para todo a en K, a · 1 = a.

Existencia de elemento opuesto y de inversos:

Para cada a en K, existe un elemento -a en K, tal que a + (- a) = 0.
Para cada a ≠ 0 en K, existe un elemento a -1 en K, tal que a · a-1 = 1.

Distributividad de la multiplicación respecto de la adición

Para toda a, b, c, en K, a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

El requisito a ≠ 0 asegura que el conjunto que contiene solamente un cero no sea un cuerpo, y de paso elimina la posibilidad de que en el cuerpo existan divisores de cero distintos de 0, lo que lo convierte también en un dominio de integridad. Directamente de los axiomas, se puede demostrar que (K, +) y (K - { 0 }, ·) son grupos conmutativos y que por lo tanto (véase la teoría de grupos) el opuesto -a y el inverso a-1 son determinados únicamente por a. Además, el inverso de un producto es igual al producto de los inversos:

(a·b)-1 = a-1 · b-1

con tal que a y b sean diferentes de cero. Otras reglas útiles incluyen

-a = (-1) · a

y más generalmente

- (a · b) = (-a) · b = a · (-b)

así como

a · 0 = 0,

todas reglas familiares de la aritmética elemental.

Definiciones alternativas[editar]

Sintéticamente, Un anillo P se llama cuerpo, si consta no sólo del cero y en él es posible la división en todos los casos( salvo la división por cero), determinándose esta unívocamente, esto es, si para cualesquiera elementos m y n de P, de los cuales n es diferente de cero, existe en P un elemento q, y sólo uno, que cumple la igualdad nq = m. El elemento q se denomina cociente de los elementos m y n y se denota q = m/n.[2]

  • Un cuerpo F es un dominio de integridad que contiene para cada elemento a ≠ 0 un «inverso» a-1 que verifica la igualdad:
a-1·a = 1.[3]

Ejemplos de cuerpos[editar]

Racionales y algebraicos[editar]

Los números racionales \mathbb Q = \{{ a \over b} | a, b \in \mathbb Z, b \neq 0\} donde está incluido el conjunto \mathbb Z de los números enteros, forman un cuerpo.

Los números complejos contienen el cuerpo de números algebraicos, la clausura algebraica de Q.

Números reales, complejos y p-ádicos[editar]

Los números reales \mathbb R con las operaciones usuales forman un cuerpo.

Los números hiperreales forman un cuerpo que contiene los reales, más los números infinitesimales e infinitos. Los números surreales forman un cuerpo que contiene los reales, a excepción del hecho de que son una clase propia, no un conjunto. El conjunto de todos los números surreales con el cumpleaños menor que un cierto cardinal inaccesible es un cuerpo.

Los números reales contienen varios subcuerpos interesantes: los números reales algebraicos, los números computables, y los números definibles.

Los números complejos \mathbb C consisten en expresiones del tipo

a + bi

donde i es la unidad imaginaria, i.e., un número (no real) que satisface i2 = −1. Adición y multiplicación de los números reales son definidos de tal manera para que todos los axiomas del cuerpo se cumplen para C. Por ejemplo, la ley distributiva cumple

(a + bi)·(c + di) = ac + bci + adi + bdi2, que es igual a acbd + (bc + ad)i.

Los números racionales se pueden ampliar a los cuerpos de números p-ádicos para cada número primo p.

Cuerpos finitos[editar]

El cuerpo más pequeño tiene solamente dos elementos: 0 y 1. Es denotado por {\mathbb F}_2 o {\mathbb Z}_2 y puede a veces ser definido por las dos tablas

\begin{array}{|c|c|c|}
      \hline
      + & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\
      \hline
      \mathbf{0} & 0 & 1 \\
      \mathbf{1} & 1 & 0 \\
      \hline
   \end{array}
   \quad
   \begin{array}{|c|c|c|}
      \hline
      \cdot & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\
      \hline
      \mathbf{0} & 0 & 0 \\
      \mathbf{1} & 0 & 1 \\
      \hline
   \end{array}

Tiene aplicaciones importantes en informática, especialmente en álgebra de Boole, criptografía y teoría de la codificación.

Más generalmente, para un número primo p, el conjunto de los números enteros módulo p es un cuerpo finito con los p elementos: esto se escribe a menudo como {\mathbb Z}_p = \{ 0, 1,...,p-1\} donde las operaciones son definidas realizando la operación en \mathbb Z, dividiendo por p y tomando el resto, ver aritmética modular.

Cuerpos de funciones[editar]

Para un cuerpo dado K, el conjunto K(X) de funciones racionales en la variable X con coeficientes en K es un cuerpo; esto se define como el conjunto de cocientes de polinomios con coeficientes en K.

Si K es cuerpo, y p(X) es un polinomio irreducible en un anillo de polinomios F[X], entonces el cociente F[X]/<p(X)> es un cuerpo con un subcuerpo isomorfo a K. Por ejemplo, R[X]/(X2+1) es un cuerpo (de hecho, es isomorfo al cuerpo de los números complejos).

Cuando K es un cuerpo, el conjunto K[[X]] de series formales de Laurent sobre K es un cuerpo.

Si V es una variedad algebraica sobre K, entonces las funciones racionales VK forman un cuerpo, el cuerpo de funciones V. Si S es una superficie de Riemann, entonces las funciones meromorfas de SC forman un cuerpo.

Ultrafiltros[editar]

Si I es un conjunto de índices, U es un ultrafiltro sobre I, y Ki es un cuerpo para cada i en I, el ultraproducto de Ki (usando U) es un cuerpo.

Subcuerpos[editar]

Sean E y K dos cuerpos con E un subcuerpo de K (es decir, un subconjunto de K que contiene 0 y 1, cerrado bajo las operaciones + y * de K y con sus propias operaciones definidas por restricción). Sea x un elemento de K no en E. Entonces E(x) se define como el subcuerpo más pequeño de K que contiene a E y a x. Por ejemplo, Q(i) es el subcuerpo de los números complejos C que consisten en todos los números de la forma a+bi donde a y b son números racionales.

Algunos teoremas iniciales[editar]

  • El conjunto de elementos diferentes de cero de un cuerpo K (denotado típicamente por K×) es un grupo abeliano bajo multiplicación. Cada subgrupo finito de K× es cíclico.
  • La característica de cualquier cuerpo es cero o un número primo. (la característica se define como el número entero positivo más pequeño n tal que n·1 = 0, o cero si no existe tal n; aquí n·1 significa n sumandos 1 + 1 + 1 +... + 1.)
  • Si q > 1 es una potencia de un número primo, entonces existe (salvo isomorfismo) exactamente un cuerpo finito con q elementos. Además, estos son los únicos cuerpos finitos posibles.
  • Como anillo, un cuerpo no tiene ningún ideal excepto {0} y sí mismo.

Construcciones de cuerpos[editar]

Subcuerpos e ideales[editar]

Si un subconjunto E de un cuerpo (K,+,·) junto con las operaciones ·, + restringido a E es en sí mismo un cuerpo, entonces se llama un subcuerpo de K. Tal subcuerpo tiene los mismos 0 y 1 que K.

Sea (K,+,\cdot) un cuerpo, y E \subset K. Se dice que \ E es subcuerpo de \ K o que \ K es extensión de \ E si se cumple que (E,+,\cdot) es un cuerpo cuando las operaciones \ (+) y (\cdot) se restringen a \ E. En particular, \ E será entonces un subanillo de (K,+,\cdot). Se tiene entonces que \ (E,+) y (E \setminus \{0\}, \cdot) son subgrupos respectivos de los grupos abelianos \ (K,+) y (K \setminus \{0\},\cdot).

Como todo cuerpo es un anillo, podríamos preguntarnos por la forma que tengan sus ideales. Para empezar, como todo cuerpo es anillo conmutativo, todo ideal por la izquierda es ideal (bilátero) y todo ideal por la derecha es también ideal (bilátero). Así pues sólo hemos de estudiar los ideales del cuerpo.

Si \ I es ideal del cuerpo \ K, entonces todo elemento no nulo a \in K ha de tener inverso, a^{-1} \in K, luego \ a es una unidad de \ K [esto es, a \in U(K)], y se tendrá que I \cap U(K) \neq \varnothing, es decir, \ I=R. De esta manera, los únicos ideales de un cuerpo son el propio cuerpo y el ideal nulo.

Cuerpo de fracciones[editar]

Dado un cuerpo K, el cuerpo polinómico K(X) es el cuerpo de fracciones de polinomios en X con coeficientes en K, es decir, sus elementos son funciones racionales con coeficientes en K.

Extensión de cuerpos[editar]

Una extensión algebraica de un cuerpo K es el cuerpo más pequeño que contiene a K y una raíz de un polinomio irreducible p(X) en K [X]. Alternativamente, es idéntico al anillo factor K [X]/(p(X)), donde (p(X)) es el ideal generado por p(X).

Cuerpo ordenado[editar]

Un cuerpo ordenado es un cuerpo en el que se puede definir una relación de orden que sea complatible con las operaciones de cuerpo, es decir:

(x < y) \Rightarrow (x+z < y+z), para cualesquiera x, y y z.
(x > 0 \land y> 0) \Rightarrow x\cdot y > 0 , para cualesquiera x y z.
 x > 0 \Leftrightarrow -x < 0, para cualquier x

Los racionales \mathbb{Q} y los reales \R son cuerpos ordenados, en cambio en los complejos \mathbb{C} no es posible definir un orden compatible con las operaciones de grupo (si i > 0 se sigue que -1 > 0, si i < 0 se sigue que (-i)(-i) = -1 > 0).

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. "teoría de los números" (1985) Niven y Zuckerman; ISBN968-18-0669-7 pág. 69
  2. "Curso de álgebra Superior" (1981) A.G. Kurosch, traducido por Emiliano Aparicio Bernardo Editorial Mir, Moscú, pág. 282
  3. "Álgebra moderna" ( 1960) Birkhoff y Mac Lane; Traducción de Rafael Rodríguez Vidal; Editorial Teide, Barcelona, pág. 42

Enlaces externos[editar]