Operación binaria

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

Se define como operación binaria (o ley de composición)[1] aquella operación matemática, que necesita el operador y dos operandos (argumentos) para que se pueda calcular un valor.

Dados tres conjuntos A, B y C una operación binaria producto, representando la operación por el signo  \circledcirc , es una aplicación que asigna a cada par de valores a de A y b de B un solo valor c de C, que podemos representar:


   \begin{array}{rccl}
      \circledcirc : & A \times B & \to & C \\
                     & (a,b)      & \to & c
   \end{array}

Podemos expresar la operación:


   a \circledcirc b = c
   \; , \quad
   \circledcirc (a, b) = c
   \; , \quad
   (a, b) \xrightarrow{\circledcirc} c

Por ejemplo, el operador de suma «+» de números naturales es un operador binario, porque requiere dos argumentos:


   \begin{array}{rccl}
      + : & N \times N & \to & N       \\
          & (a,b)      & \to & c = a + b
   \end{array}

y tenemos que:


   2 + 3 = 5
   \; , \quad
   +(2,3) = 5
   \; , \quad
   (2, 3) \xrightarrow{+} 5

El número de argumentos de una función se denomina aridad.

Clase de operación binaria[editar]

Según los conjuntos A, B y C podemos diferenciar dos tipos de operaciones, las internas en las que A = B = C, y las externas que son todas las demás, se denomina Ley de composición a un subtipo de operación binaria.

OperaciónBinaria.svg

Operación interna[editar]

Si a cada par de valores (a, b) de  A^2 la operación le corresponde un valor c de A:


   \begin{array}{rccl}
      \star : & A \times A & \to & A      \\
              & (a , b)    & \to & c = a \star b
   \end{array}

se dice que esta operación es interna, también se llama ley de composición interna, así por ejemplo dado el conjunto de vectores de tres dimensiones V^3 y la adición de vectores, se tiene:


   \begin{array}{rccl}
      + : & V^3 \times V^3          & \to & V^3      \\
          & (\mathbf{a},\mathbf{b}) & \to & \mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}
   \end{array}

que la suma de dos vectores de V^3 es otro vector de V^3, por ejemplo, dados los vectores:


   \mathbf{a} =
   a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}

   \mathbf{b} =
   b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k}

su suma es:


   \mathbf{c} =  \mathbf{a} +  \mathbf{b}

   \mathbf{c} =
   (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) +
   (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})

   \mathbf{c} =
   (a_x+b_x )\mathbf{i} + (a_y+b_y )\mathbf{j} + (a_z+b_z )\mathbf{k}

   \mathbf{c} =
   c_x \mathbf{i} + c_y \mathbf{j} + c_z \mathbf{k}

Operación externa[editar]

Si la operación no es interna entonces es externa, pudiéndose presentar los siguientes casos:

  • Si a cada par de valores a de A y b de B, se le asigna un valor c de A,

   \begin{array}{rcl}
      \star : \; A \times B & \to & A         \\
      (a,b)             & \to & c = a \star b
   \end{array}

a esta operación también se denomina ley de composición externa, un ejemplo claro, de esta operación, es el producto de un vector por un escalar:


   \begin{array}{rcl}
      \cdot : \; V^3 \times R & \to & V^3         \\
      (\mathbf{a},b)             & \to & \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot b
   \end{array}

así, dado el vector:


   \mathbf{a} =
   a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}

el resultado de multiplicarlo por un escalar b, será:


   \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot b
   \; , \quad
   \mathbf{c} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) \cdot b
   \; , \quad
   \mathbf{c} = (a_x \cdot b) \mathbf{i} + (a_y \cdot b) \mathbf{j} + (a_z \cdot b) \mathbf{k}
  • Si la operación es de la forma:

   \begin{array}{rcl}
      \star : \; A \times A & \to & B         \\
      (a,b)             & \to & c = a \star b
   \end{array}

en la que a cada par de valores a, b de A se le asigna un c de B, esta operación no se denomina ley de composición, como ejemplo podemos poner el producto escalar de dos vectores, que da como resultado un número real:


   \begin{array}{rcl}
      \circ : \; V^3 \times V^3 & \to & R      \\
      (\mathbf{a},\mathbf{b})             & \to & c = \mathbf{a} \circ \mathbf{b}
   \end{array}

así dados los vectores:


   \mathbf{a} =
   a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}

   \mathbf{b} =
   b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k}

su producto escalar será:


   \mathbf{c} = \mathbf{a} \circ \mathbf{b}
   \; , \quad
   \mathbf{c} =
   (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) \circ (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})
   \; , \quad
   \mathbf{c} = a_x \cdot b_x +a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z
  • Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conjuntos distintos:

   \begin{array}{rcl}
      \star : \; A \times B & \to & C            \\
      (a,b)                 & \to & c = a \star b
   \end{array}

es el caso más general, y tampoco se denomina ley de composición, podemos ver el ejemplo de la división de un número entero entre un número natural para dar como resultado un número racional


   \begin{array}{rcl}
      / : \; Z \times N & \to & Q         \\
      (a,b)             & \to & c = a / b
   \end{array}

Véase también[editar]

  1. "Lecciones de álgebra moderna" (1971) DubreIl y Dubreil-Jacotin; Editorial Reverté, Barcelona; pg. 2

Enlaces externos[editar]