Asociatividad (álgebra)

Sea A un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna: $\circ$, es decir:

$\begin{array}{rccl} \circ : & A \times A & \to & A \\ & (a,b) & \to & c = a \circ b \end{array}$

Se dice que el conjunto A, con la operación $\circ$, $( A , \circ )$ tiene la propiedad asociativa:

Propiedad asociatividad: para cual quier elemento del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Se define como la asociación (juntar) de varios números de forma que su suma de el mismo resultado que sin asociarse: $\forall x, y, z \in A: \quad x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z \;$.

Ejemplos

Partiendo del conjunto de los números naturales:

$\mathbb N = \{1, 2, 3, 4, \dots \} \,$

y la operación suma:

$\begin{array}{rccl} + : & \mathbb{N} \times \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ & (a,b) & \to & c = a + b \end{array}$

podemos ver que: $(\mathbb N , + ) \,$ tiene la propiedad asociativa, dado que:

$\forall a, b, c \in \mathbb N \; : \quad a + (b + c) =(a + b) + c$

Véase también

• Conmutatividad
• Relación reflexiva
• Relación simétrica
• Relación transitiva
• Relación antisimétrica