Asociatividad (álgebra)

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Sea A un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna:  \circ , es decir:


   \begin{array}{rccl}
      \circ : & A \times A & \to & A             \\
              & (a,b)      & \to & c = a \circ b
   \end{array}

Se dice que el conjunto A, con la operación  \circ ,  ( A , \circ ) tiene la propiedad asociativa si:


   \forall a, b, c \in \mathbb A
   \; : \quad
   a \circ (b \circ c) =(a \circ b) \circ c

Ejemplos[editar]

Partiendo del conjunto de los números naturales:


   \mathbb N = \{1, 2, 3, 4, \dots \} \,

y la operación suma:


   \begin{array}{rccl}
      + : & \mathbb{N} \times \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\
          & (a,b)                        & \to & c = a + b
   \end{array}

podemos ver que:  (\mathbb N , + ) \, tiene la propiedad asociativa, dado que:


   \forall a, b, c \in \mathbb N
   \; : \quad
   a + (b + c) =(a + b) + c


Por otro lado, la operación resta:


   \begin{array}{rccl}
      - : & \mathbb{N} \times \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\
          & (a,b)                        & \to & c = a - b
   \end{array}

podemos ver que:  (\mathbb N , - ) \, no tiene la propiedad asociativa, dado que:


   \exists a, b, c \in \mathbb N
   \; : \quad
   a - (b - c) \neq(a - b) - c

Por ejemplo:


   5 - (3 - 2) \neq(5 - 3) - 2

Véase también[editar]