Producto vectorial

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Esquema

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

[editar] Definición

Relaciones entre los vectores.

Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial ℝ³. El producto vectorial entre a y b da como resultado un nuevo vector, c. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo, dirección y sentido:

El módulo de c está dado por

$\left \Vert \mathbf{c} \right \Vert = \left \Vert \mathbf{a} \right \Vert \left \Vert \mathbf{b} \right \Vert \sin{\theta}$

donde θ es el ángulo entre a y b.

La dirección de c es tal que c es ortogonal a a y ortogonal a b.
El sentido en el que apunta el vector c está dado por la regla de la mano derecha.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. Para evitar confusiones con la letra x, algunos autores denotan el producto vectorial mediante a ∧ b cuando escriben a mano.

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \hat n \left \Vert \mathbf{a} \right \Vert \left \Vert \mathbf{b} \right \Vert \sin{\theta}$

donde $\hat n$ es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su sentido está dado por la regla del sacacorchos y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla del sacacorchos se la llama a menudo también regla de la mano derecha.

[editar] Base del espacio vectorial

Sea un sistema de referencia $S = \{O; \vec i , \vec j , \vec k \}$ en el espacio vectorial ℝ³. Se dice que $S$ es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:

$\langle \vec i , \vec j \rangle = \langle \vec j , \vec k \rangle = \langle \vec k , \vec i \rangle = 0$ , es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí;
$\left \Vert \vec i \right \Vert = \left \Vert \vec j \right \Vert = \left \Vert \vec k \right \Vert = 1$ , es decir, los vectores son versores (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son ortonormales);
$\vec i \times \vec j = \vec k$ ; $\vec j \times \vec k = \vec i$ ; $\vec k \times \vec i = \vec j$ , es decir, siguen la regla de la mano derecha (también llamada "regla del sacacorchos").

En la primera propiedad, $\langle \cdot , \cdot \rangle$ denota producto interno.

[editar] Producto vectorial

Sean $\vec u = u_x \vec i + u_y \vec j + u_z \vec k$ y $\vec v = v_x \vec i + v_y \vec j + v_z \vec k$ dos vectores concurrentes de $\mathbb{R}^3$ , el espacio afín tridimensional según la base anterior.

Se define el producto $\times : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ , y se escribe $\vec u \times \vec v$ , como el vector:

$\vec u \times \vec v = \left( \det \begin{pmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \\ \end{pmatrix} \cdot \vec i - \det \begin{pmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \\ \end{pmatrix} \cdot \vec j + \det \begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{pmatrix} \cdot \vec k \right)$

En el que

$\det \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{pmatrix} = a \cdot d - b \cdot c$ , es el determinante de orden 2.

O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de orden 3 por la primera fila, también decimos:

$\vec u \times \vec v = \det \begin{pmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \\ \end{pmatrix} \cdot \vec i - \det \begin{pmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \\ \end{pmatrix} \cdot \vec j + \det \begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{pmatrix} \cdot \vec k$

Que da origen a la llamada regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, el sentido de $\vec u \times \vec v$ es el de un sacacorchos que gire en el mismo sentido.

[editar] Ejemplo

Sean los vectores:

$\vec a = (2,0,1)$

y

$\vec b = (1,-1,3)$

El producto vectorial entre a y b se calcula como:

$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} \hat \imath & \hat \jmath & \hat k \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ \end{pmatrix}$

Expandiendo el determinante:

$\vec a \times \vec b = \hat \imath \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} + (-1) \hat \jmath \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix} + \hat k \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix} = \left ( 0 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) \right )\hat \imath + (-1) \left ( 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \right )\hat \jmath + \left ( 2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1 \right )\hat k = \hat \imath - 5 \hat \jmath - 2 \hat k$

Por lo tanto

$\vec a \times \vec b = (1,-5,-2)$

Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b utilizando el producto escalar y verificando que éste da cero como resultado (condición de perpendicularidad de vectores).

[editar] Propiedades

Cuales quiera que sean los vectores $\vec a$ , $\vec b$ y $\vec c$ en $\mathbb{R}^3$ :

$\vec a \times \vec b = - \vec b \times \vec a$ , (anticonmutatividad)
$\langle \vec a , (\vec a \times \vec b) \rangle = \langle \vec b , (\vec a \times \vec b) \rangle = 0$ (el producto vectorial es perpendicular a cualquiera de los factores),
Si $\vec a \neq \vec 0$ y $\vec b \neq \vec 0$ entonces $\vec a \times \vec b = \vec 0 \Longleftrightarrow \vec a || \vec b$ (el producto cruz de dos vectores paralelos es cero).
$( \vec a + \vec b ) \times \vec c = \vec a \times \vec c + \vec b \times \vec c$ ,
$\vec a \times ( \vec b \times \vec c ) = \langle \vec a , \vec c \rangle \vec b - \langle \vec a , \vec b \rangle \vec c$

[editar] Otras propiedades

Continuando con los vectores del apartado anterior y con la norma vectorial habitual:

$\langle \vec a , \vec b \times \vec c \rangle = \langle \vec a \times \vec b , \vec c \rangle$ . El valor absoluto de esta operación corresponde al volumen del paralelepípedo formados por los vectores $\vec a$ , $\vec b$ y $\vec c$ . A esta operación se la conoce como producto mixto, pues combina producto escalar y producto vectorial.
$\| \vec a \times \vec b \| = \| \vec a \| \cdot \| \vec b \| \cdot \sin \theta$ , siendo $θ$ el ángulo menor entre los vectores $\vec a$ y $\vec b$ ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
El vector $\vec n = \frac{ \vec a \times \vec b }{\| \vec a \times \vec b \|}$ es el vector normal al plano que contiene a los vectores $\vec a$ y $\vec b$ .

[editar] Vectores axiales

Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.

[editar] Dual de Hodge

Artículo principal: Dual de Hodge

En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:

$\vec{a} \times \vec{b} = *(\phi_\vec{a} \wedge \phi_\vec{b})$

Donde $\phi_\vec{a}, \phi_\vec{b}$ denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.

[editar] Otras operaciones vectoriales

Los vectores tienen definida la operación interna de adición de forma sencilla y casi evidente pero para el producto de dos vectores se definen tres operaciones matemáticas externas:

Con el producto escalar de vectores se encuentra que se pueden definir ángulos y distancias (véase operador norma) de una forma fácil y directa. Con el producto vectorial, también llamado producto cruz, encontraremos otra manera también de definir ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácil y sencillamente con el producto mixto.

El producto vectorial da como resultado un vector a partir de otros dos, pero no tiene por qué ser en el mismo espacio vectorial; pues en el plano definido por los dos vectores que se operan, el producto vectorial es una operación externa, ya que su resultado es un vector perpendicular a dicho plano. Pero en el espacio afín tridimensional, $\mathbb{R}^3$ , el producto vectorial es una operación interna.

Por ello el producto vectorial se define en ℝ³.

[editar] Generalización

Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede generalizarse a $n$ dimensiones, con $n \ne {0,1}$ y sólo tendrá sentido si se usan $n - 1$ vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un vector, y el resultado es un vector ortogonal.

Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá dado por:

$V^a = \epsilon^{aa_1\dots a_{n-1}}V_1^{a_1}\dots V_{n-1}^{a_{n-1}}$

[editar] Temas relacionados

Producto vectorial

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Contenido

[editar] Definición

[editar] Base del espacio vectorial

[editar] Producto vectorial

[editar] Ejemplo

[editar] Propiedades

[editar] Otras propiedades

[editar] Vectores axiales

[editar] Dual de Hodge

[editar] Otras operaciones vectoriales

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