Espacio afín

Históricamente, la noción de espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la Geometría Euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo propias de la geometría de Euclides. El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.

Definición

El espacio afín puede definirse de varios modos (véase el artículo «Estructura afín»).

• Dado un cuerpo $K_{}^{}$ con elemento neutro « 0 » para la operación suma y « 1 » para el producto. Los elementos del cuerpo se llaman escalares y se representaran mediante letras griegas minúsculas ($\lambda , \mu \,$ ,...).

• Dado un espacio vectorial $V_{}^{}$ sobre el cuerpo $K_{}^{},$ en el que el elemento neutro sea « $\vec 0 \,$ ». Los elementos de este espacio vectorial reciben el nombre de vectores y son representados mediante letras ($\mathbf u$ , $\mathbf v$ ,...).

• Dado un conjunto no vacío $E_{}^{}$, sus elementos recibiran el nombre de « puntos » y son designados mediante letras ($a , b \,$ ,...)

Nota: las parejas de elementos de $E_{}^{}$, esto es los elementos de $E \times E \,$ son llamados « bipuntos »; el primer elemento de una de tales parejas recibe el nombre de « origen » y el segundo el de « extremo del bipunto.

Un espacio afín $\mathcal E \,$ sobre el cuerpo $K_{}^{},$ asociado al espacio vectorial $V_{}^{},$ se define como el cuadruplete $(E,K,V ,\varphi)_{}^{}$, donde $\varphi \,$ es una operación o aplicación binaria de $E \times E \,$ sobre $V \,$ que satisface las dos propiedades siguientes, llamadas axiomas de los espacios afines:

(A1) Para todo par de bipuntos tales que el extremo del primero coincide con el origen del segundo, la suma de las imágenes por $\varphi \,$ es siempre igual a la imagen por $\varphi \,$ del bipunto formado por el origen del primero y el extremo del segundo. En otros términos:

$\forall\ a, b, c \in E \qquad \varphi (a,b) + \varphi (b,c) = \varphi (a,c) \,$

(A2) Para todo punto y todo vector, existe un único bipunto cuyo origen es el punto considerado y cuya imagen por $\varphi \,$ es el vector considerado. Esto es,

$\forall\ a \in E , \forall\ \mathbf v \in V, \qquad \exists!\ b \in E / \qquad \varphi ( a , b ) = \mathbf v \,$

Si designamos por « ^{$\overrightarrow{ab} \,$} » el vector $\varphi (a,b ) \,$, la propiedad (A1) es escribe como:

$\forall a, b, c \in E \qquad \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bc} = \overrightarrow{ac}$

conocida como Relación de Chasles.

La propiedad (A2) expresa simplemente que cuando se fija un punto $p \in E \,$, la aplicación $\varphi_p \,$:

$\begin{matrix} \varphi_p :& E & \longrightarrow & V \\& q & \longmapsto & \overrightarrow{pq} \end{matrix} \,$

es una biyección que nos permite definir una operación (la notación más utilizada) correspondiente a adición de un vector a un punto:

$\forall a, b \in E, \forall\ \mathbf v \in V , a + \mathbf v = b \Leftrightarrow \overrightarrow{ab} = \mathbf v$

La dimensión de un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.

El espacio vectorial $V \,$ es denominado espacio director o espacio asociado de $E \,$.

Propiedades elementales

De la definición del Espacio Afín -esto es, de los axiomas (A1) y (A2)- se siguen las propiedades siguientes.

Sean $a , b , c, d\,$ y $a_1,...,a_n \,$ puntos cualesquiera en un espacio afín $\mathcal E \,$. Tenemos:

• $\overrightarrow{ab} = \vec 0 \quad \Leftrightarrow a = b \,$ ;
• $\overrightarrow{ba} = - \overrightarrow{ab} \,$ ;
• $\overrightarrow{a_1a_n} = \sum_{i = 1}^{n-1} \quad \overrightarrow{a_ia_{i+1}}$ (relación de Chasles generalizada)
• $\overrightarrow{ab} = \overrightarrow{cd} \quad \Leftrightarrow \overrightarrow{ac} = \overrightarrow{bd} \,$ (regla del paralelogramo).

Véase también

• Transformación afín