Espacio afín

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No hay puntos distinguidos por definición

Históricamente, la noción de espacio afín procede del descubrimiento de nuevas geometrías perfectamente coherentes diferentes de la Geometría Euclidiana que revisan los conceptos de longitud, asociadas con el de distancia y de ángulo propias de la geometría de Euclides. El resultado es una geometría en la que el espacio se presenta como una estructura matemática próxima a la del espacio vectorial.

Definición de espacio afín[editar]

El espacio afín puede definirse de varios modos equivalentes.

Nota: las parejas de elementos de E_{}^{}, esto es los elementos de  E \times E \, son llamados « bipuntos»[cita requerida]; el primer elemento de una de tales parejas recibe el nombre de « origen» y el segundo el de « extremo del bipunto.

Dado un conjunto no vacío E_{}^{} diremos que es un espacio afín asociado a un espacio vectorial V_{}^{} si se tiene la siguiente aplicación:[1]

EspacioAfín1.svg
Visualización del orden de los puntos para \varphi o como origen y destino de una traslación.

\begin{matrix} \varphi : & E \times E & \longrightarrow{} & V \\ & (a,b) & \longmapsto & \varphi(a,b) \end{matrix}

tal que se cumplan:

1) Fijado un punto a la aplicación  \varphi_a es biyectiva, es decir:
\forall a \in E, v \in V, \; \exists!\ b \in E : \varphi (a,b) = \mathbf v  .
EspacioAfín1b.svg
2) Se tiene la relación de Chasles, es decir:
 \forall\ a, b, c \in E \qquad \varphi (a,b) + \varphi (b,c) = \varphi (a,c) \,
EspacioAfín1c.svg

Los elementos de E_{}^{} se llaman puntos.

Se designa al vector  \varphi (a,b ) \, por la notación  \overrightarrow{ab} , así la propiedad 2 se escribe como:

\forall a, b, c \in E \;\; \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bc} = \overrightarrow{ac}

La dimensión de un espacio afín es la dimensión del espacio vectorial asociado.

Observación:

La aplicación \varphi asocia dos puntos a un único vector, por lo que se dice que el primer punto es el origen y el segundo el extremo.

Propiedades elementales[editar]

De la definición del espacio afín resultan las siguientes propiedades:

Dados  a , b , c, d\, y  a_1,...,a_n \, puntos cualesquiera en un espacio afín E \,.

Tenemos:

 \overrightarrow{ab} = \vec 0 \quad \Leftrightarrow a = b \,
VectorNulo.svg

\overrightarrow{aa} +\overrightarrow{aa} = \overrightarrow{aa} \Rightarrow \overrightarrow{aa} = \vec 0.

\Rightarrow ) \, Si \, \overrightarrow{ab} = \vec 0 \, y \, \overrightarrow{aa} = \vec 0, entonces como  \varphi_a es biyectiva, se tiene que a = b.

\Leftarrow ) \, Si \, a=b \Rightarrow  \overrightarrow{ab} = \overrightarrow{aa} = \vec 0 \,.

 \overrightarrow{ba} = - \overrightarrow{ab} \,
SentidoInverso.svg

 \overrightarrow{ab}+ \overrightarrow{ba} =  \overrightarrow{aa} = \vec 0 \Rightarrow  \overrightarrow{ab} = -\overrightarrow{ba}

 \overrightarrow{ab} = \overrightarrow{cd} \quad \Leftrightarrow \overrightarrow{ac} = \overrightarrow{bd} \, (regla del paralelogramo).
ReglaParalelogramo.svg

Directo a partir de  \overrightarrow{ac} + \overrightarrow{cd} = \overrightarrow{ad} = \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bd}.

 \overrightarrow{a_1a_n} = \sum_{i = 1}^{n-1}  \quad \overrightarrow{a_ia_{i+1}} (relación de Chasles generalizada)
Inductivamente se aplica que  \sum_{i=1}^{n-1} \quad \overrightarrow{a_ia_{i+1}}=\sum_{i=1}^{n-2}\quad \overrightarrow{a_ia_{i+1}} +\quad \overrightarrow{a_{n-1}a_{n}}.

Traslaciones[editar]

EspacioAfín2T.svg

Dado un espacio afín E\, sobre V\, mediante \varphi\, y un vector u \in V, una traslación de vector u\, en E\, es una aplicación dada por:

\begin{matrix} T_u : & E & \longrightarrow{} & E \\ & a & \longmapsto & b&: \varphi (a,b)=u \end{matrix}

Observaciones:

Se puede escribir como  T_u(a) := \varphi_a^{-1}(u) que está bien definida por ser \varphi_a biyectiva.

Propiedades[editar]

Dados los vectores  u,v \in V se tiene:

 T_u \circ T_v = T_{u+v}.
EspacioAfín1cT.svg

T_v(a)=b \Leftrightarrow v=\varphi(a,b)

T_u(b)=c \Leftrightarrow u=\varphi(b,c)

  • T_u \circ T_v(a)=T_u(b)=c
  • \varphi(a,c) = \varphi(a,b) + \varphi(b,c)= u+v

\Rightarrow T_u \circ T_v = T_{u+v}.

\forall a,b \in E, \; \exists ! u \in V :\; T_u(a)=b
 u:=\varphi(a,b) y por tanto única por ser \varphi una aplicación.

Proposición[editar]

Un espacio afín E\, sobre V\, queda univocamente determinado por el conjunto:[2]

 \mathcal{T}=\{ T_u:E \to E es aplicación \forall u \in V\}

si cumple:

a)  T_v \circ T_u = T_{v+u}
b) \forall a,b \in E, \; \exists ! u \in V :\; T_u(a)=b.
Demostración
Sea \varphi la aplicación dada por b):
  • \varphi(a,b):=u
  • \varphi(a,b)+\varphi(b,c)=\varphi(a,c) ya que:
T_u(a)=b \Leftrightarrow \varphi(a,b)=u,
T_v(b)=c \Leftrightarrow \varphi(b,c)=v además
T_v \circ T_u(a)=T_{v+u}(a)=c \Rightarrow \varphi(a,c)=v+u.
  • \varphi_a es biyectiva, es decir, \forall a \in E, \forall u \in V, \exists ! b \in E:  \varphi_a(b)=u, por definición equivale a tomar b:=T_u(a), es única por ser T_v una aplicación.

Observación:

\mathcal{T} es el conjunto de todas las traslaciones ya que \exists ! b : \varphi_a^{-1}(u)=b=T_u(a).
Un espacio afín E\, se designa por la terna (E,V,\varphi) o (E,V,T) según la primera o segunda definición respectivamente.

Propiedades[editar]

 T_0 = Id.
PropPrim.svg
\forall u \in V\;\; T_{\vec{0}} \circ T_u = T_{\vec{0}+u} = T_u \Rightarrow  T_{\vec{0}}=Id.
 T_u es biyectiva y T_u^{-1}=T_{-u}.
OrdenInverso.svg

T_u \circ T_{-u}=T_{u-u}=T_{\vec{0}}=Id \Rightarrow T_{-u}=T_u^{-1}.

Si  T_{v'}\circ T_u = T_{u'}\circ T_v entonces  T_u=T_{u'} \Leftrightarrow T_v=T_{v'}.
ReglaParalelogramoDeTraslaciones.svg

Es directo, aplicando el resultado sobre la hipótesis.

Si  \exists a \in E : T_u(a)=T_v(a) \Rightarrow u=v
Por la propiedad b) T_u(a)=b=T_v(a)\Rightarrow u=v.

Ejemplos:

Los espacios vectoriales V\, son espacios afines sobre sí mismos.[3]
Demostración
Como mera distinción se nota \vec{V} como espacio vectorial y V para el mismo pero como espacio afín, se define una aplicación \varphi como:

\begin{matrix} \varphi : & V \times V & \longrightarrow{} & \vec{V} \\ & (u,v) & \longmapsto & \vec{w} & =v-u \end{matrix}

Esta aplicación cumple las dos condiciones:

1) \varphi_u es biyectiva ya que \varphi_u^{-1}(\vec{w})=w+u.

2) \varphi (u,v)+\varphi (v,w)=(v-u)+(w-v) =w-u =\varphi(u,w)

Por tanto es un espacio afín.

Dados dos espacios afínes (E,V,T) y (E',V',T'), entonces también es un espacio afín la terna:[4]
(E \times E',V \times V', T \times T') donde \begin{matrix} T \times T'_{(u,v)} : & E \times E' & \longrightarrow{} & E \times E' \\ & (a,b) & \longmapsto & (T_u(a),T'_v(b)) \end{matrix}.

Notación[editar]

Se usa como notación algebraica de u=\vec{ab}:[5]

  •  u= b-a,
  •  b= u+a,
  •  a= b-u.
Consistencia de la notación
En un espacio afín hay una correspondencia entre 3 conjuntos, E, E y V\,, más aún, dados dos elementos cualesquiera de 2 de los conjuntos respectivamente, se tiene que un tercer elemento del tercer conjunto queda determinado de forma única. Algebraicamente se distinguen cada uno de éstos elementos: u como vector, b como punto extremo de u y a como punto origen de u, también:
  •  u = \varphi(a,b) = b-a es consecuencia de que \varphi es una aplicación, es decir, \forall a,b \in E, \exists ! u \in V : \varphi(a,b)=u,
  •  b = \varphi_a^{-1}(u) = u+a es consecuencia de que \varphi_a es biyectiva, es decir, \forall a \in E, u \in V, \exists ! b \in E : \varphi(a,b)=u
  •  a= \varphi_b^{-1}(-u)= -u+b igual que antes, \forall b \in E, u \in V, \exists ! a \in E : \varphi(b,a)=-\varphi(a,b)=-u,

lo cual justifica la notación.

Dicha notación resiste el uso de producto de elementos del cuerpo K\, por vectores:

\forall \lambda \in K, \lambda u = \lambda \vec{ab} = \lambda b - \lambda a,

de uso puramente cuantitativo, se tiene que:[6]

  • Una expresión es un vector si hay tantos puntos de origen como de extremo, es decir:
\forall a,b \in E,\forall \alpha,\beta \in K  \alpha a+ \beta b es un vectore si \alpha + \beta =0.
  • Una expresión es un punto si hay un punto de extremo de más, es decir:
\forall a,b \in E,\forall \alpha,\beta \in K  \alpha a+ \beta b es un punto si \alpha + \beta =1.

No queda definido un sentido para el resto de casos.

  • Con esta notación las propiedades anteriores son inmediatas.

Definición de subespacio afín[editar]

Un subespacio afín es un subconjunto de un espacio afín que es a su vez un espacio afín.

Dado E\, un espacio afín sobre V\, mediante \varphi y U \subset V un subespacio vectorial. Se espera que F\, sea un espacio afín sobre U\, con \varphi_{\vert F\times F} por tanto está bien definida, además ha de cumplir las dos condiciones de espacio afín:

2) \varphi(a,b)+\varphi(b,c) =\varphi(a,c) es heredado del espacio afín E\,
1) \varphi_a es biyectiva, es decir:
\begin{matrix} \varphi_a : & F & \longrightarrow{} & U \\
 & b & \longmapsto & b-a &= v  \\
 b= & v+a & \longleftarrow & v
\end{matrix}
de donde se deduce que  F -a \subset U y  U+a \subset F por tanto solo se ha de verificar que  F = a+U para cualquier a \in F, es decir, F\, ha de ser una variedad lineal que se formaliza a continuación.[7]

Dado un espacio afín E\, sobre V\,, a\in E y U \subset V un subespacio vectorial. Llamaremos variedad lineal por a\, y dirección U\, al conjunto F \subset E tal que:

 F := \{b\in E : b-a \in U\} =\{b\in E : b=u+a, u\in U\} =\{a+u:u\in U\} =a+U.

Dados u,v \in E diremos que pertenecen a un mismo espacio F\, de dirección U\, si  u-v \in U.

La relación anterior es una relación de equivalencia
Se considera la relación  x\mathcal{R}y:=\langle x-y \in U \rangle y se comprueban:
Propiedad reflexiva:
Dado un elemento x \in F se tiene que  x-x=\vec{0}\in U.
Propiedad de simetría:
Dados dos elementos x,y \in F se tiene que si  x-y=v \in U entonces  -v \in U es decir  y-x\in U.
Propiedad transitiva:
Dados tres elementos x,y,z \in F se tiene que si  x-y \in U y  y-z \in U entonces  U \ni (x-y)+(y-z) = x-z es decir  x-z \in U .

Aplicación entre espacios afines[editar]

Afinidades[editar]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Es común denominar a V_{}^{} como espacio director, también se define como "espacio afín sobre V_{}^{}" denotado por la terna (E,V_{}^{},\varphi) en Máximo Anzola o "espacio afín sobre K_{}^{}" en M. Castellet
  2. En M. Castellet se puede encontrar como proposición 2.2 pg 187
  3. En Marcel Berger se puede encontrar otra presentación de este ejemplo 2.2.1 pg 34
  4. En Marcel Berger se puede encotrar como ejemplo 2.2.2 pg 34
  5. En M. Castellet se puede encontrar como parte de la definición de variedad lineal tema IX.3 pg 187 y tema IX.8 pg 202.
  6. En M. Castellet se puede encontrar en el tema IX.6 pg 194.
  7. En M. Castellet se puede encontrar su equivalente en el tema IX.3 pg 189.

Bibliografía[editar]

  • Antonio Pardo Fraile, Juan-Angel Díaz Hernando, Elementos de álgebra lineal y geometría(tomo II), Madrid, 1966.
  • Manuel Castellet, Irene Llerena, Álgebra lineal y geometría, Editorial reverté, S.A., 2000.
  • Máximo Anzola, José Caruncho, Geometría afín y euclídea, Pedidos a los Autores,1981.
  • J.M. Aroca Hernández-Ros, Problemas de geometría afín y geometría métrica, uva, 2004.
  • Nomizu, K.; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New edición), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3