Paralelepípedo

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Paralelepípedo oblícuo.

Un paralelepípedo (del latín parallelepipĕdum, y este del griego παραλληλεπίπεδον[1] parallēlepípedon[2] ‘planos paralelos’) es un poliedro de seis caras (por tanto, un hexaedro), en el que todas las caras son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos. Un paralelepípedo tiene 12 aristas, que son iguales y paralelas en grupos de cuatro, y 8 vértices.

Se pueden dar tres definiciones equivalentes de un paralelepípedo:

  • Es un poliedro de seis caras (hexaedro), cada una de las cuales es un paralelogramo.
  • Es un hexaedro con tres pares de caras paralelas.
  • Es un prisma cuya base es un paralelogramo.

El paralelepípedo pertenece al grupo de los prismatoides, aquellos poliedros en los que todos los vértices se encuentran contenidos en dos planos paralelos.[3]

Casos particulares[editar]

  • Un paralelepípedo en el que todas sus bases son rectángulos, y por tanto todas sus caras son perpendiculares entre sí, es un ortoedro. Es un caso particular del paralelepípedo recto.
  • Un paralelepípedo en el que todas sus bases son rombos es un romboedro.
  • Un paralelepípedo en el que todas sus bases son cuadrados es un hexaedro regular o cubo.

Volumen[editar]

Forma de medir el volumen de un paralelepípedo oblícuo.

En el caso más general, el volumen de un paralelepípedo se calcula multiplicando el área de cualquiera de sus caras por la altura respecto de dicha cara. La altura debe medirse en la perpendicular levantada respecto del plano que contiene la cara que se considera como base, como muestra la figura adjunta.

(1)V = A \cdot h \,

En el caso más sencillo de que todas las caras sean perpendiculares entre sí, el volumen se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes en cualquier vértice. Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vértice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:

(2)V = a \cdot b \cdot c \,

Por ejemplo, si las aristas de un paralelepípedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen se obtiene multiplicando 2 · 3 · 6 = 36 cm3.

En el caso particular del cubo, en el que todas las aristas tienen la misma dimensión, el volumen es el lado elevado al cubo:

(3)V= l^3 \,

En general, si \mathbf{a}, \mathbf{b} y \mathbf{c} son vectores que definen aristas concurrentes en un vértice, el volumen del paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto:

(4)V = |\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})|\,

La ecuación (4) es equivalente al valor absoluto del determinante de la matriz tridimensional formada por los vectores a, b y c como filas o columnas:

(5) V = \left| \det \begin{bmatrix}
        a_1 & a_2 & a_3 \\
        b_1 & b_2 & b_3 \\
        c_1 & c_2 & c_3
 \end{bmatrix} \right|

Referencias[editar]

  1. «paralelepípedo», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia Española, 2001, http://lema.rae.es/drae/?val=paralelep%C3%ADpedo, consultado el 23 de noviembre de 2010 
  2. Lexico Publishing Group. «parallelepiped» (en inglés). Reference.com. Consultado el 18 de diciembre de 2010.
  3. Weisstein, Eric W. «Prismatoid» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. Consultado el 23 de noviembre de 2010.

Enlaces externos[editar]