Base (álgebra)

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Base estandar en el plano cartesiano.

En álgebra lineal, se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:

Lema de Zorn y existencia de bases[editar]

Mediante el uso del lema de Zorn, es posible probar que todo espacio vectorial posee una base. Pese a que es posible que un espacio vectorial no posea una única base, se cumple que todo par de bases de un mismo espacio vectorial tienen la misma cardinalidad. Por ser así, tal cardinalidad sera llamada como la dimensión del espacio vectorial.

Otras propiedades, consecuencias del lema de Zorn:

  • Todo sistema generador de un espacio vectorial contiene una base vectorial (de Hamel).
  • Todo conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial, puede ser extendido a una base.

Observaciones adicionales[editar]

  1. Las bases son conjuntos ordenados. Es decir que si bien {a,b,c} y {b,a,c} generan el mismo espacio vectorial, las bases no son iguales.
  2. Dado un vector v y una base B de un espacio vectorial V, existe una única manera de escribir a v como combinación lineal de los elementos de la base B. Es decir, la representación de un vector en una base es única.
  3. De la observación anterior se desprende que las bases no son únicas. En general, suele haber infinitas bases distintas para un mismo espacio vectorial. Por ejemplo, si V=\mathbb{R}^3, una base muy sencilla de V es:

\mathcal{B}=\{ (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\}

la cual es conocida como base canónica de \mathbb{R}^3. Otras bases de \mathbb{R}^3 son:

\begin{cases} \mathcal{B}'=\{(2,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\} \\
\mathcal{B}''=\{(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)\} \\ \mathcal{B}'''=\{(504,0,0); (0,7,0); (0,0,1/2)\} \end{cases}

En general, toda base de \mathbb{R}^3 estará formada por tres vectores linealmente independientes que pertenezcan a \mathbb{R}^3. Cuando el espacio vectorial en sí mismo es un conjunto finito entonces el número de bases distintas es finito.

  1. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces todas las bases de V serán finitas y tendrán la misma cantidad de elementos.
  2. No todas las bases tienen un número finito de elementos. Por ejemplo, las bases del espacio vectorial de los polinomios de una variable tienen infinitos elementos. Una posible base es la formada por las potencias de X: \mathcal{B} =\{1, X, X^2, X^3,\dots \}

Espacios de dimensión infinita[editar]

En el caso de espacios vectoriales de dimensión infinita, como los que aparecen en análisis funcional existen algunas distinciones pertinentes que es importante señalar.

Bases de Hamel y de Hilbert[editar]

En un espacio vectorial de Hilbert de dimensión infinita existen varias posibilidades de extender el concepto de combinación lineal finita. De un lado si consideramos únicamente combinaciones lineales finitas llegamos al concepto de base de Hamel o base lineal. Puede probarse que todas las bases de Hamel tienen el mismo número de elementos, este número o cardinal se llama dimensión lineal o dimensión de Hamel. Un conjunto constituye una base de Hamel si y solo si:

B_{\rm Ham}:\mbox{base de Hamel} \Rightarrow
\exists \lambda_i \in \mathbb{K} \quad \and \quad \exists x_i \in B_{\rm Ham}: \quad x = \sum_{i=1}^N \lambda_i x_i


En un espacio de dimensión de Hamel finita, se puede encontrar solamente un número finito de vectores ortogonales dos a dos, en cambio, cuando la dimensión de Hamel es infinita, pueden introducirse en los espacios de Hilbert ciertas "combinaciones lineales infinitas" en términos de vectores ortogonales. En un espacio de Hilbert de dimensión infinita se dice que un conjunto es una base de Hilbert o base ortogonal, si y solo si:

B_{\rm Hil}:\mbox{base de Hilbert} \Rightarrow
\exists \lambda_i \in \mathbb{K} \quad \and \quad \exists x_i \in B_{Hil} \quad \and \quad \langle x_i,x_j \rangle = 0 (i \ne j): \quad x = \sum_{i=1}^\infty \lambda_i x_i


Nuevamente sucede que todas las bases ortogonales tienen el mismo cardinal, por lo que se define el concepto de dimensión de Hilbert como el cardinal de cualquier base de Hilbert.

Dimensión vectorial[editar]

Vecteur bases ond et qcq.png

La dimensión de un espacio vectorial se define como el número de elementos o cardinal de una base de dicho espacio. Dado que para todo espacio de Hilbert de dimensión infinita podemos distinguir entre bases de Hilbert y de Hamel, podemos definir la dimensión vectorial ordinaria y la dimensión vectorial de Hilbert. Se tiene que para cualquier espacio vectorial V, la relación entre dimensión de Hammel y dimensión de Hilbert es la siguiente:

(1)\dim_{\rm Ham} V \ge \dim_{\rm Hil} V

En espacios de dimensión finita también se pueden definir las bases de Hilbert como bases de Hamel ortogonales. De hecho, para un espacio de dimensión finita, la dimensión de Hilbert es igual a la dimensión de Hamel. En dimensión finita toda base de Hamel es base de Hilbert y viceversa, por lo que para un espacio de dimensión finita en (1) se da siempre la igualdad.

Temas relacionados[editar]

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. En el caso de Bases de Hilbert se entiende por "combinación lineal" una suma infinita convergente