Dimensión de un espacio vectorial

La dimensión de un espacio vectorial (también llamada dimensión de Hamel de un espacio vectorial, para distinguirla de la dimensión de Hilbert en el caso de los espacios de Hilbert) es la respuesta a la pregunta: ¿Cuántos parámetros se necesitan para localizar con toda precisión un punto en este espacio?

Más formalmente la dimensión de un espacio vectorial se define como el cardinal de una base vectorial para dicho espacio. Por el axioma de elección todo espacio tiene una base (incluso el espacio {0}, ya que el vacío es una base), y puesto que puede demostrarse que todas las bases vectoriales tienen el mismo cardinal, el concepto de dimensión está bien definido. Conviene notar que existen espacios vectoriales de tanto de dimensión finta como de dimensión infinita (el espacio vectorial de los polinomios de una variable, por ejemplo tiene dimensión $\aleph_0$.

Introducción

En un plano euclídeo (Π), se escogen tres puntos distintos O, I y J no alineados y se definen los vectores:

$\begin{matrix} \vec{u} & = & \vec{OI} \\ \vec{v} & = & \vec{OJ} \end{matrix}$

y un punto M es localizado por su abscisa x y su ordenada y: M(x,y) significa

$\vec{OM}= x\vec{i} + y\vec{j}$

Si se cambia el cuerpo de los escalares, de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$, entonces el mismo punto M será deteminado por el complejo z_M =x + yi, es decir por un solo parámetro.

La dimensión de P es 1 sobre $\mathbb{C}$ y dos sobre $\mathbb{R}$:

$\begin{matrix} \dim_\mathbb{C} P & = & 1 \\ \dim_\mathbb{R} P & = & 2 \end{matrix}$

Un plano real es por lo tanto una recta compleja. La apelación plano complejo para designar un plano real con escritura compleja de las coordenadas ( x + yi en vez de (x; y) ) es errónea, pero muy común.

El espacio ambiente es tridimensional y se requiere por lo tanto tres reales (x, y, z) para definir un punto. No se le puede considerar como un espacio sobre $\mathbb{C}$.

En la teoría de la relatividad, se añade una cuarta variable: el tiempo, y un punto (x, y, z, t) de este espacio cuadridimensional corresponde a un evento o acontecimiento (las coordenadas nos dicen donde y cuando ocurrió).

En algunas teorías actuales, los físicos trabajan en un modelo del espacio con once dimensiones, pero sobre el conjunto de los enteros, y no los real. Como el conjunto $\mathbb{Z}$ de los racionales no es un cuerpo sino un anillo, el espacio no es vectorial (se dice que es un módulo). Sin embargo, la definición de la dimensión es válida en tales espacios. En este ejemplo, la mayoría de las dimensiones son enrolladas sobre sí mismas, como una serpiente que se muerde la cola. Su curvatura es enorme, pues su radio es microscópico, menor que el de un núcleo. Los espacios vectoriales no tienen curvatura.

Dimensión de un subespacio

La definición sigue siendo la misma en el caso de un subespacio, pero existe un método particular de calcularla cuando el subespacio es definido como espacio generado por sistema de vectores. Veámoslo en un ejemplo. En el espacio $\mathbb{R}^3$, sean los vectores:

$\vec{u} \begin{pmatrix} 1\\3\\-2 \end{pmatrix}, \vec{v} \begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix}, \vec{w} \begin{pmatrix} -3\\5\\4 \end{pmatrix} \mbox{ y } \vec{n} \begin{pmatrix} 4\\5\\-7 \end{pmatrix}$

Cuatro vectores no pueden ser independientes en $\mathbb{R}^3$, por lo tanto tienen que existir relaciones de dependencia:

$x \begin{pmatrix} 1\\3\\-2 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} -3\\5\\4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4\\5\\-7 \end{pmatrix} = \vec{0}$

lo que se puede escribir en forma matricial :

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & 4\\ 3 & 1 & 5 & 5\\ -2 & 3 & 4 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\t \end{pmatrix} = \vec{0}$

Llamemos A a la matriz anterior, y X el vector columna. Esta relación significa que el vector X pertenece al núcleo de A, que se nota Ker A (del alemán Kern, núcleo). El espacio generado es el conjunto de los

$x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w} + t\vec{n}$,

es decir de los A·X: es la imagen de A.

Resulta intuitivo que cuanto mayor es el núcleo, menor es la imagen, en términos de dimensiones. Concretamente, si llamamos rango de A a la dimensión de su imagen: rg A = dim (Im A), tenemos la relación:

rg A + dim (Ker A) = dim E (E: espacio de entrada de A, aquí E = $\mathbb{R}^4$).

Busquemos dim (Ker A):

$\left \{ \begin{matrix} (I) & x-2y-3z+4t=0\\ (II) & 3x+y+5z+5t=0\\ (III) & -2x+3y+4z-7t=0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} (I) & x-2y-3z+4t=0\\ (IV)=(II)-3(I) & 7y+14z-7t=0\\ (V)=(III)+2(I) & -y-2z+t=0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} (I) & x-2y-3z+4t=0\\ (IV)/7 & y+2z-t=0\\ -(V) & y+2z-t=0 \end{matrix} \right.$

Quedan dos ecuaciones no proporcionales, por lo tanto independientes, y cada una resta 1 a la dimensión, que vale inicialmente 4. Resulta que dim (Ker A ) = 2. Se puede constatarlo de otra manera: Las dos ecuaciones permiten expresar y,luego x en función de z y t, por consiguiente solo quedan dos variables libres, y la dimensión es 2.

Aplicando la fórmula : rg A = 4 - 2 = 2. El subespacio es un plano.

Fórmula de las dimensiones de Grassmann

Si U₁ y U₂ son subespacios de un espacio vectorial de dimensión finita, se cumple:

$\mbox{dim}\ U_1 + \mbox{dim}\ U_2 = \mbox{dim}(U_1+U_2) + \mbox{dim}(U_1\cap U_2)$

Ejemplos

• Todo espacio euclídeo tiene dimensión finita sobre $\scriptstyle \R$.
• El conjunto de los números complejos $\scriptstyle \mathbb{C}$ es de dimensión 1 sobre $\scriptstyle \mathbb{C}$, es decir, $\scriptstyle \mathrm{dim}_\mathbb{C}(\mathbb{C})=1$, sin embargo, sobre $\scriptstyle \R$ es dimensión 2, $\scriptstyle \mathrm{dim}_\R(\mathbb{C})=2$.
• El conjunto de los cuaterniones de Hamilton $\scriptstyle \mathbb{H}$, satisface $\scriptstyle \mathrm{dim}_\R(\mathbb{C})=4$ y $\scriptstyle \mathrm{dim}_\mathbb{C}(\mathbb{C})=2$.
• Dado un cuerpo $\scriptstyle \mathbb{K}$, el conjunto:

$\mathbb{K}^n = \underbrace{\mathbb{K}\times \dots \times \mathbb{K}}_n$

satisface $\scriptstyle \mathrm{dim}_\mathbb{K}(\mathbb{K})=n$.

• Todo conjunto con estructura de cuerpo $\scriptstyle \mathbb{K}$ es un espacio vectorial sobre sí mismo de dimensión 1. Si se considera un subcuerpo $\scriptstyle \mathbb{K}_1$ entonces el cuerpo original es un espacio vectorial sobre el subcuerpo. Si $\scriptstyle \mathbb{K}$ es una extensión algebraica de $\scriptstyle \mathbb{K}_1$ entonces la dimensión del cuerpo original sobre el subcuerpo es finita.
• El conjunto de matrices $\scriptstyle M_{n\times n}(\mathbb{K})$ es un espacio vectorial de dimensión n².
• El espacio vectorial de los polinomios $\scriptstyle \mathbb{H}[X]$ tiene dimensión infinita sobre $\scriptstyle \mathbb{K}$, concretamente, $\scriptstyle \mathrm{dim}_\mathbb{K}(\mathbb{K}[X])=\aleph_0$.

Referencias

Bibliografía

• Gannon, Terry (2006), Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, ISBN 0-521-83531-3 

Enlaces externos

• MIT Linear Algebra Lecture on Independence, Basis, and Dimension by Gilbert Strang at MIT OpenCourseWare