Número complejo

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Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como \scriptstyle \mathbb{C}, siendo \scriptstyle \mathbb{R} el conjunto de los reales se cumple que \scriptstyle \mathbb{R}\sub\mathbb{C}. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.[1]

Origen[editar]

El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

Definición[editar]

Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

  • Suma
(a, b) + (c, d) = (a+c,\, b+d)
  • Producto por escalar
r(a, b) = (ra,\, rb)
  • Multiplicación
(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
  • Igualdad
(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d


A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

  • Resta
(a, b) - (c, d) = (a-c,\, b-d)
  • División
\frac{(a, b)}{(c, d)} = {(ac+bd,\,bc-ad) \over c^2+d^2} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}
, {bc - ad \over c^2 + d^2}\right)


Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que está compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0 .

Cuerpo de los números complejos[editar]

Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

Unidad imaginaria[editar]

Tomando en cuenta que (a, 0) \cdot (0, 1) = (0, a), se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

\mathrm{i} = (0, 1) \,\!

De donde se deduce inmediatamente que,

\mathrm{i}^2 = \mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1

Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado[editar]

Valor absoluto o módulo de un número complejo[editar]

La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

 |z| = \sqrt{z z^*} = \sqrt{\hbox{Re}^2(z) + \hbox{Im}^2(z)}

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.

Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r e, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma trigonométrica como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = e es la conocida fórmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

 \left| z \right| = 0 \Longleftrightarrow z = 0
 \left| z + w \right| \leq |z| + |w|
 \left| zw \right| = |z||w|
 \left| z - w \right| \ge |z| - |w|

para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Argumento o fase[editar]

El argumento principal o fase de un número complejo genérico z=x+yi\, (siendo x=Re(z) e y=Im(z)) viene dado por la siguiente expresión:

 \phi = \operatorname{Arg}(z) = \operatorname{atan2}(y,x)

donde atan2(y,x) es la función arcotangente definida para los cuatro cuadrantes:

\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}
\arctan\left(\frac y x\right) & \qquad x > 0 \\
\arctan\left(\frac y x\right) + \pi& \qquad y \ge 0 , x < 0 \\
\arctan\left(\frac y x\right) - \pi& \qquad y < 0 , x < 0 \\
+\frac{\pi}{2} & \qquad y > 0 , x = 0 \\
-\frac{\pi}{2} & \qquad y < 0 , x = 0 \\
\text{indefinido} & \qquad y = 0, x = 0
\end{cases}

O también: \operatorname{atan2}(y, x) =\frac \pi2 \sgn(y)-\arctan\left(\frac x y\right)\quad\forall x,y \in \mathbb R Siendo:

\sgn(y)=\begin{cases}
1 \qquad y \ge 0 \\
-1 \qquad y < 0\\
\end{cases}

la función signo.

Conjugado de un número complejo[editar]

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.

El conjugado de un complejo z (denotado como \bar{z} ó z^* \,\!) es un nuevo número complejo, definido así:

\bar{z} = a - \mathrm{i}b \Longleftrightarrow z = a + \mathrm{i}b

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.

Con este número se cumplen las propiedades:

\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}
z+\overline{z} = 2\cdot \hbox{Re}(z)
z-\overline{z} = 2i\cdot \hbox{Im}(z)
\overline{zw} = \bar{z} \bar{w}
z \in \mathbb{R} \Longleftrightarrow \bar{z} = z
|z|^2 = z\bar{z}
z \neq 0 \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Representaciones[editar]

Representación binómica[editar]

Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; a+bi es la expresión binomial del punto.

Un número complejo se representa en forma binomial como:

z = a + bi \,

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

a = \hbox{Re}(z)=\Re(z)
b = \hbox{Im}(z)=\Im(z)

Representación polar[editar]

El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; r(\cos \phi + i \sin \phi) o r e^{i\phi} es la expresión polar del punto.

En esta representación, \textstyle{r} es el módulo del número complejo y el ángulo \textstyle{\phi} es el argumento del número complejo.


   \textstyle{\phi} =
   \arctan \left(\frac{b}{a}\right) =
   \arctan \left( \frac{\hbox{Im}(z)}{\hbox{Re}(z)}\right) =  -\arctan \left ( -\frac{\hbox{Im}(z)}{\hbox{Re}(z)}\right)

   \cos \phi = \frac{a}{r} \ , \    \sin \phi = \frac{b}{r}

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:


   z = 
   a + \mathrm{i}b ;\; z = 
   r\cos{\phi} + \mathrm{i}r\sin{\phi}

Sacamos factor común r:


   z = r \left( \cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} \right)

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:


   \ z = r \; \operatorname{cis} \; {\phi}

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.

Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler, vemos que:


   \cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} = 
   e^{\mathrm{i}\phi} ;\; z = r e^{i\phi}

No obstante, el ángulo \phi no está unívocamente determinado por z, pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros k\in\mathbb{Z}, como implica la fórmula de Euler:


   \forall{k}{\in}\mathbb{Z}\; z=
   e^{\mathrm{i}(\phi + 2\pi{}k)}

Por esto, generalmente restringimos \phi al intervalo [-π, π) y a éste \phi restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

Operaciones en forma polar[editar]

La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:


   z_1 z_2 = 
   rse^{\mathrm{i}(\phi + \psi)} \Leftrightarrow z_1 z_2 = 
   r e^{\mathrm{i}\phi} s e^{\mathrm{i}\psi}

División:


   \frac{z_1}{z_2} = 
   \frac{r}{s} e^{\mathrm{i}(\phi - \psi)}

Potenciación:


   z^n = 
   r^n e^{\mathrm{i} \phi n} \Leftrightarrow z^n = 
   \left( r e^{i\phi} \right)^{n}

   z^n =(a + b\mathrm{i})^n = 
   {n \choose 0}a^n + {n \choose 1} a^{n-1}b\mathrm{i} + {n \choose 2}a^{n-2} 
   \left (
      b \mathrm{i} \right)^2 + \ldots + {n \choose {n-1}}a 
      \left (
         b \mathrm{i} 
      \right )
   ^{n-1} + {n \choose n} 
   \left
   (b\mathrm{i} \right)^n

Plano de los números complejos o Diagrama de Argand[editar]

El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos.

Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una función en el plano complejo.

El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, que encuentra aplicación en muchas otras áreas de la matemática así como en física, electrónica y muchos otros campos.

Geometría y operaciones con complejos[editar]

Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar dos complejos z1 =a1 + ib1 y z2 = a2 + ib2, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto (a1, b1) y (a2,b2), respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo z1 + z2.

Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos z1 y z2, primero medimos el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje positivo de las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que representa al complejo producto z1 · z2. La longitud de este vector producto viene dada por la multiplicación de las longitudes de los vectores originales. La multiplicación por un número complejo fijo puede ser vista como la transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.

Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (-1) · (-1) = +1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º (i al cuadrado = -1), dando como resultado un cambio de signo al completar una vuelta.

Esbozo histórico[editar]

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

Aplicaciones[editar]

En matemáticas[editar]

Soluciones de ecuaciones polinómicas[editar]

Un raíz o cero[2] del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0;

Un resultado importante de esta definición es que todas las ecuaciones polinómicas (algebraicas) de grado n tienen exactamente n soluciones en el cuerpo de los números complejos, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. También se cumple que si z es una raíz entonces su conjugado también es una raíz del polinomio p. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado; por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales[cita requerida] que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

Variable compleja o análisis complejo[editar]

Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro.

Ecuaciones diferenciales[editar]

En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas) \lambda\, del polinomio característico, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la forma: f(x) = e^{\lambda x} \,.

Fractales[editar]

Muchos objetos fractales, como el conjunto de Mandelbrot, pueden obtenerse a partir de propiedades de convergencia de una sucesión de números complejos. El análisis del dominio de convergencia revela que dichos conjuntos pueden tener una enerme complejidad autosimilar.

En física[editar]

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z=r e^{i \phi} \, podemos pensar en r\, como la amplitud y en  \phi \, como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma f(t)=z e^{i \omega t} \, donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

Generalizaciones[editar]

\mathbb{C} \subset \mathbb{H} \subset \mathbb{O} \subset \mathbb{S}

\mathbb{C} \subset {}^*\R(i)

Véase también[editar]

Clasificación de números
Complejos \mathbb{C}
Reales \mathbb{R}
Racionales \mathbb{Q}
Enteros \mathbb{Z}
Naturales \mathbb{N}
1: uno
Naturales primos
Naturales compuestos
0: Cero
Enteros negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios

Referencias[editar]

  1. Trejo, César A. Funciones de variable compleja (1974) p.186
  2. Análisis matemático . Volumen I de Haaser, LaSalle y Sullivan (1977) Trillas, p.483

Bibliografía[editar]

  • Conway, John B. (1986), Functions of One Complex Variable I, Springer, ISBN 0-387-90328-3 

Enlaces externos[editar]