Intervalo (matemática)

En matemáticas, un intervalo (del latín intervallum) es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real $\R$, es decir, una porción de recta entre dos valores dados.

Caracterización

El intervalo real $I\$ es la parte de $\R$ que verifica la siguiente propiedad:

Si $x\$ e $y\$ pertenecen a $I\$ con $x \le y$, entonces para todo $z\$ tal que $x \le z \le y\$, se tiene que $z\$ pertenece a $I\$.

Notación

Intervalo abierto (a,b).

Intervalo cerrado [a,b].

Intervalo semiabierto [a,b).

Intervalo semiabierto (a,b].

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

• $(a,b)\$ o bien $]a,b[\$
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades: $\{x\in\R\,|\,a<x<b\}$

Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

• $[a,b]\$
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades: $\{x\in\R\,|\,a\le x\le b\}$

Intervalo semiabierto

Incluye únicamente uno de los extremos.

• $[a,b)\$ o bien $[a,b[\$, notación conjuntista: $\{x\in\R\,|\,a\le x<b\}$
• $(a,b]\$ o bien $]a,b]\$, notación conjuntista: $\{x\in\R\,|\,a<x\le b\}$

Nota:

• Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío.
• (a,a), [a,a) y (a,a] denotan también al conjunto vacío.
• [a,a] denota al conjunto unitario {a}, también llamado intervalo degenerado.
• Estas notaciones también se utilizan en otras áreas de las matemáticas; por ejemplo, la notación $(a,b)\$, denota un par ordenado en teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo en álgebra.
• Ambas notaciones admiten el símbolo $\infty$ para indicar que no hay cota.

Ejemplos

Clasificación

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:

Notación	Intervalo	Longitud	Descripción
$[a, b] \,$	$a \le x \le b$	$b-a \,$	Intervalo cerrado de longitud finita.
$[a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, b) \!$	$a \le x < b\!$	$b-a \,$	Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).
$]a, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b] \!$	$a < x \le b$	$b-a \,$	Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).
$]a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b) \!$	$a<x<b \!$	$b-a \,$	Intervalo abierto.
$]-\infty, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b) \!$	$x < b \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]-\infty, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b] \!$	$x \le b \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$[a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, \infty ) \!$	$x \ge a \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, \infty ) \!$	$x > a \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]\infty, + \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (\infty, + \infty ) \!$	$x \in \mathbb{R} \!$	$\infty$	Intervalo a la vez abierto y cerrado.
$\{ a \} \!$	$x=a \!$	$0 \!$	Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).
$\{\} = \emptyset\!$	x no existe	Sin longitud.	Conjunto vacío.

Propiedades

• La intersección de intervalos de $\R$ es también un intervalo.
• La unión de intervalos de $\R$ no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).
• Las partes conexas de $\R$ son exactamente los intervalos.
• Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «segmento de recta».
• La imagen por una función continua de un intervalo de $\R$ es un intervalo de $\R$. Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.

Aritmética de intervalos

Sean I = [a, b] y J = [c, d] con a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.

Entonces: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que

• I + J = [ a + c , b + d ].

• I - J = [ a - d, b - c ].

• Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].

Generalización

En el espacio métrico $\R$, los intervalos son las bolas abiertas y cerradas.

Un intervalo n-dimensional se define como un subconjunto de $\R^n$, que es el producto cartesiano de n intervalos: $I = I_1\times I_2 \times \cdots \times I_n$, uno en cada eje de coordenadas.

De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro a y radio ε, al conjunto de puntos x cuya distancia a a es menor que ε.

$E (a ; \epsilon) = \left\{ \left. x \in \real \ \ \right| \ \ |x - a| < \epsilon \right\}$

Véase también

• Desigualdad
• Valor absoluto
• Intervalo unidad
• Partición de un intervalo

Referencias

• Skornyakov, L.A. (2001), «Interval and segment», en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 
• Weisstein, Eric W. «Interval» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.