Intervalo (matemática)

Un intervalo (del latín intervallum) es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real $\R$, es decir, una porción de recta entre dos valores dados.

Caracterización

El intervalo real $I\$ es la parte de $\R$ que verifica la siguiente propiedad:

Si $x\$ e $y\$ pertenecen a $I\$ con $x \le y$, entonces para todo $z\$ tal que $x \le z \le y\$, se tiene que $z\$ pertenece a $I\$

Notación

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

• $(a,b)\$ o bien $]a,b[\$
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

$I = (a,b), \quad \forall x \in I: \quad a < x < b$

Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

• Que se indica: $[a,b]\$
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades

$I = [a,b], \quad \forall x \in I: \quad a \le x \le b$

Intervalo semiabierto

Incluye únicamente uno de los extremos.

• Con la notacion $(a,b]\$ o bien $]a,b]\$ indicamos.

En notación conjuntista:

$I = (a,b], \quad \forall x \in I: \quad a < x \le b$

• Y con la notación $[a,b)\$ o bien $[a,b[\$,

En notación conjuntista:

$I = [a,b), \quad \forall x \in I: \quad a \le x < b$

Intervalo infinito

Incluye un extremos e infinito por la derecha.

• Con la notacion $[a,\infty)\$ indicamos.

En notación conjuntista:

$I = [a,\infty), \quad \forall x \in I: \quad a \le x$

Sin incluir el extremo:

• Y con la notación $(a,\infty)$,

$I = (a,\infty), \quad \forall x \in I: \quad a < x$

Incluye un extremos e infinito por la izquierda.

• Con la notacion $(-\infty, a]\$ indicamos.

En notación conjuntista:

$I = (-\infty, a], \quad \forall x \in I: \quad x \le a$

Sin incluir el extremo:

• Y con la notación $(-\infty,a)$,

En notación conjuntista:

$I = (-\infty,a), \quad \forall x \in I: \quad x < a$

Para todo valor real:

• Y con la notación $(-\infty,\infty)$,

En notación conjuntista:

$I = (-\infty,\infty), \quad \forall x \in R$

Operaciones con intervalos

En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:

$A = \{ x, \; x \in R : \quad x < 4 \}$

Esto se lee: A son todos los x reales tales que x es menor que cuatro.

Y el conjunto B:

$B = \{ x , \; x \in R : \quad 9 < x \}$

El conjunto B abarca todos los x, reales, mayores que nueve.

El conjunto unión de A y B sería:

$A \cup B = \{ x , \; x \in R : \quad x < 4 \; \lor \; 9 < x \}$

O tambien se puede anotar:

$x \in (-\infty, 4) \cup (9, \infty)$

La unión de dos o más conjuntos es tomar todos los puntos pertenecientes a cada conjunto.

El conjunto intersección de A y B no existe:

$A \cap B = \{ x , \; x \in R : \quad x < 4 \; \land \; 9 < x \}$

porque A y B no tienen puntos en común.

$A \cap B = \varnothing$

Definido el conjunto C:

$C = \{x , \; x \in R : \quad -3 < x < 15 \}$

Es decir, que el conjunto C toma valores entre -3 y 15, siempre siendo x un número real.

El conjunto intersección de A y C es:

$A \cap C = \{x , \; x \in R : \quad -3 < x < 4 \}$

El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluídos.

Entorno simétrico

Un entorno simétrico o entorno de centro a y radio r se representa:

• Con la notacion $E(a,r)\$ indicamos.

$I = E(a,r), \quad \forall x \in I: \quad a-r < x < a+r$

Entorno reducido

Un entorno reducido de centro a y radio r se representa:

• Con la notacion $E^{\star}(a,r)\$ indicamos.

$I = E^{\star}(a,r), \quad \forall x \in I: \quad x \in E(a,r) \; - \; \{ a \}$

Nota

• Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío.
• (a,a), [a,a) y (a,a] denotan también al conjunto vacío.
• [a,a] denota al conjunto unitario {a}, también llamado intervalo degenerado.
• Estas notaciones también se utilizan en otras áreas de las matemáticas; por ejemplo, la notación $(a,b)\$, denota un par ordenado en teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo en álgebra.
• Ambas notaciones admiten el símbolo de infinito ($\infty$) para indicar que no hay cota.

Ejemplos gráficos

Función cuadrática restringida a un intervalo fijado.   Transformación lineal de intervalos.   Transformacion lineal de intervalos.   Línea numérica.

Clasificación

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:

Notación	Intervalo	Longitud	Descripción
$[a, b] \,$	$a \le x \le b$	$b-a \,$	Intervalo cerrado de longitud finita.
$[a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, b) \!$	$a \le x < b\!$	$b-a \,$	Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).
$]a, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b] \!$	$a < x \le b$	$b-a \,$	Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).
$]a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b) \!$	$a<x<b \!$	$b-a \,$	Intervalo abierto.
$]-\infty, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b) \!$	$x < b \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]-\infty, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b] \!$	$x \le b \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$[a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, \infty ) \!$	$x \ge a \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, \infty ) \!$	$x > a \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]\infty, + \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (\infty, + \infty ) \!$	$x \in \mathbb{R} \!$	$\infty$	Intervalo a la vez abierto y cerrado.
$\{ a \} \!$	$x=a \!$	$0 \!$	Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).
$\{\} = \emptyset\!$	x no existe	Sin longitud.	Conjunto vacío.

Propiedades

• La intersección de intervalos de $\R$ es también un intervalo.
• La unión de intervalos de $\R$ no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).
• Las partes conexas de $\R$ son exactamente los intervalos.
• Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «segmento de recta».
• La imagen por una función continua de un intervalo de $\R$ es un intervalo de $\R$. Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.

Aritmética de intervalos

Sean I = [a, b] y J = [c, d] con a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.

Entonces: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que

• I + J = [ a + c , b + d ].

• I - J = [ a - d, b - c ].

• Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].

Generalización

Un intervalo n-dimensional se define como un subconjunto de $\R^n$, que es el producto cartesiano de n intervalos: $I = I_1\times I_2 \times \cdots \times I_n$, uno en cada eje de coordenadas.

Entorno de centro a y radio ε.

En términos topológicos, en el espacio métrico $\R$ usual los intervalos son las bolas abiertas y cerradas. De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro a y radio ε, al conjunto de puntos x cuya distancia a a es menor que ε.

$E (a ; \epsilon) = \left\{ x \in \R \ : \ |x - a| < \epsilon \right\}$

Véase también

• Desigualdad
• Valor absoluto
• Intervalo unidad
• Partición de un intervalo

Referencias

• Skornyakov, L.A. (2001), «Interval and segment», en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 
• Weisstein, Eric W. «Interval» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.