Desigualdad matemática

En matemáticas, una desigualdad es una relación que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

• La notación a < b significa a es menor que b;
• La notación a > b significa a es mayor que b;

estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

• La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
• La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

• La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
• La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;

esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.

• La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

Propiedades

Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).

Transitividad

• Para números reales arbitrarios a,b y c:

• Si a > b y b > c entonces a > c.
• Si a < b y b < c entonces a < c.
• Si a > b y b = c entonces a > c.
• Si a < b y b = c entonces a < c.

Adición y sustracción

• Para números reales arbitrarios a,b y c:

• Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
• Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.

Multiplicación y división

• Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:

• Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
• Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.

Opuesto

• Para números reales arbitrarios a y b:

• Si a < b entonces −a > −b.
• Si a > b entonces −a < −b.

Recíproco

• Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:

• Si a < b entonces 1/a > 1/b.
• Si a > b entonces 1/a < 1/b.

• Si a y b son de distinto signo:

• Si a < b entonces 1/a < 1/b.
• Si a > b entonces 1/a > 1/b.

Función monótona

Al aplicar una función monótona creciente a ambos lados, la desigualdad se mantiene. Si se aplica una función monótona decreciente, la desigualdad se invierte.

Ejemplo

$a < b \Leftrightarrow e^a < e^b$

al aplicar la función exponencial a ambos miembros de la desigualdad, esta se mantiene.

Valor absoluto

Se puede definir el valor absoluto por medio de desigualdades:

• $|a| \le b \iff -b \le a \le b$
• $|a| \ge b \iff a \ge b \vee a \le -b$

Cuerpo ordenado

Si (F, +, ×) es un cuerpo y ≤ es un orden total sobre F, entonces (F, +, ×, ≤) es un cuerpo ordenado si y solo si:

• a ≤ b implica a + c ≤ b + c;
• 0 ≤ a y 0 ≤ b implica 0 ≤ a × b.

Los cuerpos (Q, +, ×, ≤) y (R, +, ×, ≤) son ejemplos comunes de cuerpo ordenado, pero ≤ no puede definirse en los complejos para hacer de (C, +, ×, ≤) un cuerpo ordenado.

Las desigualdades en sentido amplio ≤ y ≥ sobre los números reales son relaciones de orden total, mientras que las desigualdades estrictas < y > sobre los números reales son relaciones de orden estricto.

Notación encadenada

La notación a < b < c establece que a < b (a menor que b) y que b < c (b menor que c) y aplicando la propiedad transitiva anteriormente citada, puede deducirse que a < c (a menor que c). Obviamente, aplicando las leyes anteriores, puede sumarse o restarse el mismo número real a los tres términos, así como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismo número (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones según su signo. Así, a < b + e < c es equivalente a a - e < b < c - e.

Esta notación se puede extender a cualquier número de términos: por ejemplo, a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n establece que a_i ≤ a_i+1 para i = 1, 2, ..., n−1. Según la propiedad transitiva, esta condición es equivalente a a_i ≤ a_j para cualesquiera 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones. En ese caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre los términos adyacentes. Por ejemplo:

a < b = c ≤ d

significa que a < b, b = c, y c ≤ d (y por transitividad: a < d). Esta notación es utilizada en algunos lenguajes de programación tales como Python.

Desigualdades entre medias

Véase también: Desigualdad de las medias aritmética y geométrica.

Las distintas medias pueden relacionarse utilizando desigualdades. Por ejemplo, para números positivos a₁, a₂, …, a_n, si

$H = \frac{n}{1/a_1 + 1/a_2 + \cdots + 1/a_n}$	(Media armónica),
$G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n}$	(Media geométrica),
$A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$	(Media aritmética),
$Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}$	(Media cuadrática),

entonces: $H \le G \le A \le Q$.

Véase también

• Inecuación
• Programación lineal
• Teoría del orden
• Categoría:Desigualdades (para una lista de desigualdades conocidas)

Bibliografía

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0521052068.
• Beckenbach, E.F., Bellman, R. (1975). Introduction to Inequalities, Random House Inc. ISBN 0394015592.
• Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Inequalities: With Applications to Engineering, Springer-Verlag. ISBN 0387984046.
• Aurelio Baldor, (1975) Álgebra de Baldor, Edime organización gráfica S.S. Madrid. ISBN 84-399-0259-x

Enlaces externos

• Esta obra deriva de la traducción parcial de Inequality (mathematics), publicada bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported por editores de la Wikipedia en inglés.