Desigualdad de las medias aritmética y geométrica

En matemáticas, se conoce como desigualdad entre media aritmética y geométrica, o MA-MG, aquella desigualdad que establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, cumpliéndose únicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales.

Media aritmética y media geométrica

La media aritmética de un conjunto de números reales ${x_1,x_2,\dots ,x_n}$ es igual a la suma dividida por el número total de elementos,

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.$

La media geométrica de un conjunto de reales no negativos ${x_1,x_2,\dots ,x_n}\in\mathbb R^+$, es igual a la raíz n-ésima del producto de todos ellos:

$\sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n}.$

La desigualdad

Sea ${x_1,x_2,\dots ,x_n}\in\mathbb R^+$ entonces

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n}.$

La igualdad se cumple si y sólo si ${x_1 = x_2 = \cdots = x_n}$.

Demostración por inducción

Para demostrar la desigualdad MA-MG, se desarrollara por el método de inducción matemática, demostrando que la MA-MG es cierta para 2 elementos, luego generalizándolo para 2n elementos y demostrando que si es cierta para n es cierta para n+1 elementos.

Sea ${x_1,x_2,\dots ,x_n}\in\mathbb R^+$ un conjunto de n elementos.

Procedemos a considerar el primer paso en que n=2

$\frac{x_1 + x_2 }{2}\geq\sqrt[2]{x_1 x_2}$

$\frac{(x_1 + x_2)^2 }{4}\ge x_1 x_2$

$(x_1 + x_2)^2 \ge 4x_1 x_2$

$x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 \ge 4x_1 x_2$

$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2 \ge 0$

$(x_1-x_2)^2\ge0$

Quedando así demostrado para n=2, luego se demuestra que si es cierta para 2 es cierta para 2n elementos.

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{2n}}{2n}\geq\sqrt[2n]{x_1 x_2 \cdots x_{2n}}$

$\frac{\frac{(x_1+x_2+\cdots+x_{n})}{n}+\frac{(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots+x_{2n})}{n}}{2}\ge \sqrt[2]{\frac{(x_1+x_2+\cdots+x_{n})}{n}\frac{(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots+x_{2n})}{n}}$

Siguiendo la hipótesis,

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}$

Se sigue que,

$\frac{\frac{(x_1+x_2+\cdots+x_{n})}{n}+\frac{(x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots+x_{2n})}{n}}{2}\ge \sqrt[2]{\sqrt[n]{(x_1x_2\cdots x_{n})} \sqrt[n]{(x_{n+1}x_{n+2}\cdots x_{2n})}}$

Siendo esto igual a,

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{2n}}{2n}\geq\sqrt[2n]{x_1 x_2 \cdots x_{2n}}$

Quedando así demostrado que si es cierto para 2 elementos es cierto para 2n elementos.

Ahora procedemos a demostrar que si es cierta para n-1 elementos es cierta para n elementos,

Sea ${x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}}\in\mathbb R^+$ y $\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}}{n-1}$

Se considera la desigualdad de todos los elementos mencionados,

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1} +\frac{x_1+x_2\cdots+x_{n-1}}{n-1}}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_{n-1}\frac{x_1+x_2\cdots+x_{n-1}}{n-1}}$

$\frac{(n-1)x_1+(n-1)x_2+\cdots +(n-1)x_{n-1} +x_1+x_2\cdots+x_{n-1}}{(n-1)n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_{n-1}}\sqrt[n]{\frac{x_1+x_2\cdots+x_{n-1}}{n-1}}$

$\frac{nx_1+nx_2+\cdots +nx_{n-1}}{(n-1)n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_{n-1}}\sqrt[n]{\frac{x_1+x_2\cdots+x_{n-1}}{n-1}}$

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}}{n-1}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_{n-1}}\sqrt[n]{\frac{x_1+x_2\cdots+x_{n-1}}{n-1}}$

$(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}}{n-1})^\frac{n-1}{n}\geq ({x_1x_2\cdots x_{n-1}})^{\frac{1}{n}}$

$(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}}{n-1})^\frac{n-1}{1}\geq ({x_1x_2\cdots x_{n-1}})$

Haciendo raíz n-1-ésima se sigue,

$(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}}{n-1})\geq ({x_1x_2\cdots x_{n-1}})^\frac{1}{^n-1}$

Quedando así demostrado por el método inductivo, la veracidad de la desigualdad MA-MG.

$\frac{x_1+x_2\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} , \forall n \in\mathbb N$ Q.E.D.

Véase también

• Media

• Desigualdad matemática

• Media aritmética

• Media geométrica

• Inducción matemática

Referencias

• Oleksandr, karlein.Rondero Guerrero, Carlos.Tarasenko, Anna. (2008). Desigualdades, métodos de calculo no tradicionales". Díaz de Santos. ISBN 978-84-7978-807-0