Conjunción lógica

AND Compuerta lógica.

Una conjunción lógica (comúnmente simbolizada como Y o $\and$) es, en lógica y matemáticas, un operador lógico que resulta en verdadero si los dos operadores son verdaderos.

Definición

Dado un conjunto universal U y una operación binaria interna conjunción $\land$, que representaremos $(U, \land )$:

$\begin{array}{rccl} \land : & \; U \times U & \to & U \\ & (a,b) & \to & c = a \land b \end{array}$

por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U.

$\forall (a,b) \in U \times U \, : \quad \exists ! c \in U \; / \quad c = a \land b$

Para todo par ordenado (a,b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la conjunción lógica a y b.

Para dos entradas a y b, la tabla de verdad de la función conjunción es:

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline a & b & a \and b \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

Símbolo

El símbolo matemático para la conjuncion lógica varia en la literatura. Además de utilizar "Y", el símbolo en forma de $\and$ es comúnmente utilizado para la conjunción. Por ejemplo:

$a \and b$

se lee como "a y b". Esta Conjunción es cierta si ambas a y b son ciertas a la vez. En todos los demás casos es falsa.

La noción equivalente en teoría de conjuntos es la Intersección de conjuntos. Y el símbolo representativo es "y" y $\and$

Propiedades

La conjunción lógica presenta las siguientes propiedades:

• 1. La ley asociativa:

$\forall a, b,c \in U  : \; (a \land b) \land c = a \land (b \land c)$

• 2. Existencia del elemento neutro:

$\forall a \in U  : \; a \land V = a$

• 3. La ley conmutativa:

$\forall a, b \in U  : \; a \land b = b \land a$

• 4. Ley distributiva de la conjunción respecto al disyunción:

$\forall a, b, c \in U  : \; a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)$

• 5. Existe elemento complementario:

$\forall a \in U  ; \; \exists \lnot{a} \in U  : \; a \land \lnot{a} = F$

Operación con bits

La conjunción es utilizada a menudo para operaciones con bits. Por ejemplo:

• Cero y cero:

$0 \and 0 = 0 \quad \longleftrightarrow \quad \begin{array}{cc} & 0 \\ \and & 0 \\ \hline & 0 \\ \end{array}$

• Cero y uno:

$0 \and 1 = 0 \quad \longleftrightarrow \quad \begin{array}{cc} & 0 \\ \and & 1 \\ \hline & 0 \\ \end{array}$

• Uno y cero:

$1 \and 0 = 0 \quad \longleftrightarrow \quad \begin{array}{cc} & 1 \\ \and & 0 \\ \hline & 0 \\ \end{array}$

• Uno y uno:

$1 \and 1 = 1 \quad \longleftrightarrow \quad \begin{array}{cc} & 1 \\ \and & 1 \\ \hline & 1 \\ \end{array}$

• Para cuatro bit:

$1010 \and 1100 = 1000 \quad \longleftrightarrow \quad \begin{array}{ccccc} & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \and & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$

Véase también

• Álgebra booleana
• Lógica proposicional
• puerta lógica
• Disyunción lógica
• Operador a nivel de bits

Enlaces externos

• Lógica de enunciados

Bibliografía

• Nachbin, Leopoldo : Álgebra elemental (1986) Rochester, Nueva York; editora: Eva V. Chesnau. Edición de la OEA, traducida al español por César E. Silva.

http://www.uv.es/ivorra/Libros/Libros.htm