Conjunción lógica

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Una conjunción lógica (comúnmente simbolizada como Y o  \and ) es, en lógica y matemáticas, un operador lógico que resulta en verdadero si los dos operadores son verdaderos.

Definición[editar]

Puerta AND.svg

Dado un conjunto universal U formado por los elementos falso: F y verdadero: V:


   U = \{F, V\}

y una operación binaria interna conjunción  \land , que representaremos  (U, \land ) :


   \begin{array}{rccl}
      \land : & \; U \times U & \to & U             \\
              & (a,b)         & \to & c = a \land b
   \end{array}

por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U.


   \forall (a,b) \in U \times U
   \, : \quad
   \exists !  c \in U
   \; / \quad
   c = a \land b

Para todo par ordenado (a,b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la conjunción lógica a y b.

Para dos entradas a y b, la tabla de verdad de la función conjunción es:


   \begin{array}{|c|c||c|}
      \hline
      a & b & a \and b \\
      \hline
      V & V & V \\
      V & F & F \\
      F & V & F \\
      F & F & F \\
      \hline
   \end{array}

Símbolo[editar]

El símbolo matemático para la conjunción lógica varia en la literatura. Además de utilizar "Y", el símbolo en forma de  \and es comúnmente utilizado para la conjunción. Por ejemplo:

 a \and b

se lee como "a y b". Esta Conjunción es cierta si ambas a y b son ciertas a la vez. En todos los demás casos es falsa.

La noción equivalente en teoría de conjuntos es la Intersección de conjuntos. Y el símbolo representativo es "y" y  \and

Propiedades[editar]

La conjunción lógica presenta las siguientes propiedades:

  • 1. La ley asociativa:

   \forall a, b,c \in U
   : \;
   (a \land b) \land c = a \land (b \land c)
  • 2. Existencia del elemento neutro:

   \forall a \in U
   : \;
   a \land V = a
  • 3. La ley conmutativa:

   \forall a, b \in U
   : \;
   a \land b = b \land a
  • 4. Ley distributiva de la conjunción respecto al disyunción:

   \forall a, b, c \in U
   : \;
   a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)
  • 5. Existe elemento complementario:

   \forall a \in U
   ; \;
   \exists \lnot{a} \in U
   : \;
   a \land \lnot{a} = F

Operación con bits[editar]

La conjunción es utilizada a menudo para operaciones con bits. Por ejemplo:

  • Cero y cero:

   0 \and 0 = 0
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \begin{array}{cc}
           & 0  \\
      \and & 0  \\
      \hline
          & 0  \\
   \end{array}
  • Cero y uno:

   0 \and 1 = 0
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \begin{array}{cc}
           & 0  \\
      \and & 1  \\
      \hline
          & 0  \\
   \end{array}
  • Uno y cero:

   1 \and 0 = 0
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \begin{array}{cc}
           & 1  \\
      \and & 0  \\
      \hline
          & 0  \\
   \end{array}
  • Uno y uno:

   1 \and 1 = 1
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \begin{array}{cc}
           & 1  \\
      \and & 1  \\
      \hline
          & 1  \\
   \end{array}
  • Para cuatro bit:

   1010 \and 1100 = 1000
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \begin{array}{ccccc}
           & 1 & 0 & 1 & 0  \\
      \and & 1 & 1 & 0 & 0  \\
      \hline
           & 1 & 0 & 0 & 0  \\
   \end{array}

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]

Bibliografía[editar]

  • Nachbin, Leopoldo : Álgebra elemental (1986) Rochester, Nueva York; editora: Eva V. Chesnau. Edición de la OEA, traducida al español por César E. Silva.

http://www.uv.es/ivorra/Libros/Libros.htm