Cuantificador universal

En lógica matemática, se usa el símbolo $\forall$, denominado cuantificador universal, antepuesto a una variable para decir que "para todo" elemento de un cierto conjunto se cumple la proposición dada a continuación. En texto se puede representar con el carácter ∀.

Normalmente, en lógica, el conjunto al que se refiere es el universo o dominio de referencia, en el cual aparecen todas las constantes.

Ejemplo

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B:

$A \subset B \; \land \; A \not= B$

Todo elemento x de A pertenece a B:

$\forall x \in A \; \Rightarrow \; x \in B \,$

Al ser A y B conjuntos diferentes como indica el diagrama, podemos decir que no todos los elementos y de B pertenecen a A, siendo esto una garantia suficiente para que dos conjuntos cualesquiera puedan ser diferentes:

$\lnot \forall y \in B \; \Rightarrow \; y \in A \,$

Es decir, que no para todo elemento y de B tenemos que o implica que y también pertenezca a A.

Relación cuantificador universal y el cuantificador existencial

Dada una expresión P(x), según el cuantificador universal se puede transformar en otra equivalente con el cuantificador existencial:

$\forall x \ P(x) \; \Leftrightarrow \; \lnot \exists x \ \lnot P(x) \,$

que podriamos leer: si para todo x se cumple P(x) no existe un x que no cumpla P(x).

Según el ejemplo anterior:

$\forall x \in A \; \Rightarrow \; x \in B \,$

Para todo x que pertenece a A implica que x pertenece a B, que podemos expresar:

$\lnot \exists x \in B \; \Rightarrow \; x \notin A \,$

No existe un x de B por tanto x no este en a A.

Véase también

• cuantificador existencial
• lógica de primer orden