Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz

De Wikipedia, la enciclopedia libre
(Redirigido desde «Desigualdad de Cauchy-Schwarz»)
Saltar a: navegación, búsqueda

En matemáticas, la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, también conocida como desigualdad de Schwarz, desigualdad de Cauchy o desigualdad de Cauchy-Schwarz, es una desigualdad muy útil encontrada en diferentes áreas, tales como el álgebra lineal aplicada a vectores, en análisis matemático aplicada a series infinitas e integración de productos de funciones, y en teoría de probabilidades, aplicada a varianzas y covarianzas.

La desigualdad para sumas fue publicada por Augustin Louis Cauchy (1821), mientras que la correspondiente desigualdad para integrales fue establecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) y redescubierta por Hermann Amandus Schwarz (1888) (a menudo mal escrito como "Schwartz").

Enunciado[editar]

La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz establece que: para todo par de vectores x e y de un espacio prehilbertiano se cumple

|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.

Equivalentemente, tomando la raíz cuadrada en ambos lados, y refiriéndose a la norma de los vectores, la desigualdad se escribe como

|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.

Adicionalmente, los dos lados son iguales si y sólo si x e y son linealmente dependientes (geométricamente, si son paralelos o uno de los vectores es igual a cero).


La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Desigualdad de Hölder, con p = q = 2.

La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Identidad de Lagrange, incluso para el caso de los números complejos.

La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar que el producto escalar es una función continua con respecto a la topología inducida por el mismo producto escalar.

La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar la desigualdad de Bessel.

La formulación general del principio de incertidumbre de Heisenberg se deriva usando la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz sobre el producto escalar definido en el espacio de las funciones de onda físicas.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]