Desigualdad de Cauchy-Schwarz
En matemáticas, la desigualdad de Cauchy-Schwarz, también conocida como desigualdad de Schwarz, desigualdad de Cauchy o desigualdad de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, es una desigualdad muy útil encontrada en diferentes áreas, tales como el álgebra lineal aplicada a vectores, en análisis matemático aplicada a series infinitas e integración de productos de funciones, y en teoría de probabilidades, aplicada a varianzas y covarianzas.
La desigualdad para sumas fue publicada por Augustin Louis Cauchy (1821), mientras que la correspondiente desigualdad para integrales fue establecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) y redescubierta por Hermann Amandus Schwarz (1888) (a menudo mal escrito como "Schwartz").
Enunciado [editar]
La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todo par de vectores x e y de un espacio vectorial real o complejo dotado de un producto escalar 
(es decir, un espacio prehilbertiano),
Equivalentemente, tomando la raíz cuadrada en ambos lados, y refiriéndose a la norma de los vectores, la desigualdad se escribe como
Adicionalmente, los dos lados son iguales si y sólo si x e y son linealmente dependientes (geométricamente, si son paralelos o uno de los vectores es igual a cero).
La desigualdad de Cauchy-Scharz se puede probar con un caso particular de la Identidad de Lagrange, incluso para el caso de los números complejos.
La desigualdad de Cauchy-Schwarz se usa para probar que el producto escalar es una función continua con respecto a la topología inducida por el mismo producto escalar.
La desigualdad de Cauchy-Schwarz se usa para probar la desigualdad de Bessel.
La formulación general del principio de incertidumbre de Heisenberg se deriva usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz sobre el producto escalar definido en el espacio de las funciones de onda físicas.
Véase también [editar]
Enlaces externos [editar]
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Cauchy Schwarz inequality» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
