Media armónica

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La media armónica', denominada H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

Así, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será igual a:

{H} = {n \over { \sum_{i=1}^n{1 \over x_i}}} = {n \over ({1 \over x_1}+\cdots+{1 \over x_n})}

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

Propiedades[editar]

  1. La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable.
  2. Siempre se puede pasar de una media armónica a una media aritmética transformando adecuadamente los datos.
  3. La media armónica siempre es menor o igual que la media aritmética, ya que para cualesquiera números reales positivos \scriptstyle x_i >0:

\frac{n}{\cfrac{1}{x_1} + \dots + \cfrac{1}{x_n}} \le \frac{x_1+\dots+x_n}{n}

Ventaja[editar]

  • Considera todos los valores de la distribución y en ciertos casos, es más representativa que la media aritmética.

Desventajas[editar]

  • La influencia de los valores pequeños y el hecho que no se puede determinar en las distribuciones con algunos valores iguales a cero; por eso no es aconsejable su empleo en distribuciones donde existan valores muy pequeños.

Se suele utilizar para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc.

Curiosidades[editar]

La media armónica surge de manera natural al calcular en índice de Paasche, uno de los números índice más comunes. Considérese una serie temporal p_{1,t} q_{1,t} + \cdots + p_{n,t} q_{n,t} que resulta de agregar el valor nominal de la producción o el gasto p_{i,t} q_{i,t} en n mercancías. Para aislar cambios en cantidades de cambios en precios el índice de Laspeyres fija los precios del periodo anterior y compara el gasto hoy con los precios de ayer al gasto de ayer

L_t = \frac{\sum_{i=1}^n p_{i,t-1} q_{i,t}}{\sum_{i=1}^n p_{i,t-1} q_{i,t-1}} = \sum_{i=1}^n \frac{q_{i,t}}{q_{i,t-1}} \frac{p_{i,t-1} q_{i,t-1}}{\sum_{i=1}^n p_{i,t-1} q_{i,t-1}}

Al dejar los precios fijos, se interpreta que L_t sólo refleja cambios en cantidades o reales. También se puede observar que se trata de una media donde el cambio en la cantidad de la mercancía i aparece ponderada por el peso del gasto en esta mercancía sobre el gasto total.

El índice de Paasche, al revés, procede a dejar fijos los precios de hoy: compara el gasto hoy con el gasto de ayer si hubieran prevalecido los precios de hoy.

P_t = \frac{\sum_{i=1}^n p_{i,t} q_{i,t}}{\sum_{i=1}^n p_{i,t} q_{i,t-1}}.

De esta definición no podemos obtener una media ponderada como antes. Sin embargo, si se considera la fómula invertida ocurre que

\frac{1}{P_t} = \frac{\sum_{i=1}^n p_{i,t} q_{i,t-1}}{\sum_{i=1}^n p_{i,t} q_{i,t}} = \sum_{i=1}^n \frac{q_{i,t-1}}{q_{i,t}} \frac{p_{i,t} q_{i,t}}{\sum_{i=1}^n p_{i,t} q_{i,t}}

pero entonces

P_t = \left( \sum_{i=1}^n \frac{1}{\frac{q_{i,t}}{q_{i,t-1}}} \frac{p_{i,t} q_{i,t}}{\sum_{i=1}^n p_{i,t} q_{i,t}} \right)^{-1}.

Esto es, el índice de Paasche resulta ser la media armónica de los cambios en cantidades en cada una de las mercancías.

Véase también[editar]

Referencia[editar]

Bibliografía[editar]

  • Statistical Analysis, Ya-lun Chou, Holt International, 1969, ISBN 0030730953.
  • 'Introducción a la Estadística Económica y Empresarial. Teoría y Práctica.' de Fco. Javier Martín-Pliego López, Editorial Thomson, 2007 (Madrid).
  • 'Manual de Estadística Empresarial con ejercicios resueltos' de Eva Ropero, María Eleftheriou, Luana Gava y Eva Romero. Editorial Delta Publicaciones. 2008 (Madrid).