Media armónica

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética (A), cuadrática (Q), geométrica (G) y armónica (H) de dos números a y b.

La media armónica (designada usualmente mediante H) de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

Así, dados n números x₁, x₂, ... , x_n la media armónica será igual a:

${H}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\cfrac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\cfrac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\cfrac {1}{x_{n}}}}}$

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

Características

1. La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable.
2. Siempre se puede pasar de una media armónica a una media aritmética transformando adecuadamente los datos.
3. La media armónica siempre es menor o igual que la media aritmética, ya que para cualquier número real positivo $x_{i}>0$:

${\frac {n}{{\cfrac {1}{x_{1}}}+\dots +{\cfrac {1}{x_{n}}}}}\leq {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$

Ventaja

• Considera todos los valores de la distribución y en ciertos casos, es más representativa que la media aritmética.

Desventajas

• La influencia de los valores pequeños y el hecho de que no pueda ser determinada en distribuciones con valores iguales a cero; por eso su empleo no es aconsejable en distribuciones donde existan valores muy pequeños.

Suele ser empleada para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc.

Curiosidades

La media armónica surge de manera natural al calcular el índice de Paasche, uno de los números índice más comunes. Considérese una serie temporal $p_{1,t}q_{1,t}+\cdots +p_{n,t}q_{n,t}$ que resulta de agregar el valor nominal de la producción o el gasto $p_{i,t}q_{i,t}$ en $n$ mercancías. Para aislar cambios en cantidades de cambios en precios el índice de Laspeyres fija los precios del periodo anterior y compara el gasto hoy con los precios de ayer al gasto de ayer

$L_{t}={\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i,t-1}q_{i,t}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t-1}q_{i,t-1}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i,t}}{q_{i,t-1}}}{\frac {p_{i,t-1}q_{i,t-1}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t-1}q_{i,t-1}}}$

Al dejar los precios fijos, se interpreta que $L_{t}$ sólo refleja cambios en cantidades o reales. También se puede observar que se trata de una media donde el cambio en la cantidad de la mercancía $i$ aparece ponderada por el peso del gasto en esta mercancía sobre el gasto total.

El índice de Paasche, al revés, procede a dejar fijos los precios de hoy: compara el gasto hoy con el gasto de ayer si hubieran prevalecido los precios de hoy.

$P_{t}={\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t-1}}}.$

De esta definición no podemos obtener una media ponderada como antes. Sin embargo, si se considera la fórmula invertida ocurre que

${\frac {1}{P_{t}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t-1}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i,t-1}}{q_{i,t}}}{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t}}}$

pero entonces

$P_{t}=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\frac {q_{i,t}}{q_{i,t-1}}}}{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i,t}q_{i,t}}}\right)^{-1}.$

Esto es, el índice de Paasche resulta ser la media armónica de los cambios en cantidades en cada una de las mercancías.

Véase también

• Desviación estándar
• Parámetro estadístico
• Valor esperado

Referencias

Bibliografía

• Statistical Analysis, Ya-lun Chou, Holt International, 1969, ISBN 0030730953.
• 'Introducción a la Estadística Económica y Empresarial. Teoría y Práctica.' de Fco. Javier Martín-Pliego López, Editorial Thomson, 2007 (Madrid).
• 'Manual de Estadística Empresarial con ejercicios resueltos' de Eva Ropero, María Eleftheriou, Luana Gava y Eva Romero. Editorial Delta Publicaciones. 2008 (Madrid).

• Datos: Q188347