Límite de una función

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El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.

Intuitivamente, el hecho que una función f alcance un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente próximos a c, sin importar el valor que pudiera adquirir f en el punto c.

Historia[editar]

Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[1] Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.[2] La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860[3] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]

Definición formal[editar]

Funciones de variable real[editar]

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Si la función f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo  \varepsilon > 0 \; existe un  \delta > 0 \; tal que para todo número real x en el dominio de la función 0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon.

Esto, escrito en notación formal:


   \begin{array}{l}
   \underset {x\to c}{\lim}  \, \,f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 / \forall x \in \operatorname{Dom}(f), 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon
   \end{array}
Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.

Veamos un ejemplo. Supongamos que se quiere demostrar que \lim_{x\to 2}(3x-5)=1. El cálculo de este límite surge por simple sustitución, esto se debe a que la función afín es continua.

Demostración
Utilicemos entonces la definición, debemos demostrar que para cualquier \varepsilon dado podemos hallar un \delta para el cual se cumple

(*)0<|x-2|<\delta \Rightarrow |(3x-5)-1|<\varepsilon

Tomando \textstyle\delta = \frac{1}{3}\varepsilon es posible probar esto. Es válido ya que nos permite obtener un valor para cualquier \varepsilon dado, que es precisamente lo que enuncia la definición.

Probaremos entonces la tesis, tomando como hipótesis \textstyle 0<|x-2|<\frac{1}{3}\varepsilon.

Veamos que |(3x-5)-1|=|3x-6|=3|x-2|, luego por hipótesis \textstyle 3|x-2|<3\frac{1}{3}\varepsilon=\varepsilon y queda demostrado (*).

Nótese que bien podríamos haber elegido \delta=\frac{1}{6}\varepsilon o \delta=\frac{1}{15}\varepsilon, por ejemplo. En tanto \delta\leq\frac{1}{3}\varepsilon, siempre podremos demostrar (*).

Hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet D:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida como:


D(x) = \begin{cases}
c & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{racional} \\
d & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{irracional} \\
\end{cases}

donde no existe un número c para el cual exista \lim_{x \to c}f(x)\quad. Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.

Funciones en espacios métricos[editar]

Existe otra manera de definir el límite que tiene que ver con el concepto de bolas y entornos:

Supóngase f : (M, dM) → (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, c es un punto límite de M y LN. Se dice que "el límite de f en c es L" y se escribe:

 \lim_{x \to c}f(x) = L

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda xM en 0 < dM(x, c) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.

En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f(x) en x = c es L si se cumple que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:

si 0 < \left| x - c \right| < \delta , entonces \left| f\left(x\right) - L \right| < \epsilon

De la desigualdad 0 < | x - c | < δ se obtiene lo siguiente:

  1. x pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ).
  2. x no es igual a c, pues 0 < | x - c | implica x distinto de c.
  3. La solución de | f(x) - L | < ε pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Esto proporciona la clave de comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de x está en la vecindad horizontal alrededor del punto c y agujereada en c con radio delta y centro c, aun cuando en ese punto c no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(c) y radio épsilon.

Unicidad del límite[editar]

Teorema. Si el límite de una función existe, entonces es único.

Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.[4]

Supóngase que \textstyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L y también que \textstyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L' siendo L y L' distintos; se debe de comprobar que no puede ser que  L'\neq L verificándose la definición de límite. Para ello se toma un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersequen. Por definición de límite  f(x)\in E para todo x en algún entorno agujereado de c, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.

Límites laterales[editar]

El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0-. Por lo tanto, el límite cuando x → x0 no existe.

Tomemos ahora un punto x del dominio de f aproximándose a c, pero tomando sólo valores más grandes que él. Formalmente estaríamos tomando los x que verifican 0<x-c<\delta, para ciertos \delta. Si la función tiende a un valor L^+, se dice que «existe el límite por derecha» y se denota así


   \lim_{x \to c^+}f(x) = L^+

Tomando valores más pequeños, es decir los x tales que 0<-(x-c)<\delta, el límite puede ser escrito como:


   \lim_{x \to c^-}f(x) = L^-

Si los dos límites anteriores son iguales:


   \lim_{x \to c^-}f(x) =
   \lim_{x \to c^+}f(x) =
   L

entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si los límites laterales no son iguales, entonces el límite no existe. Esto se deduce porque, bajo estas condiciones, el límite no sería único.

Estas nociones permiten definir la continuidad y derivabilidad de una función en un punto.

Límites infinitos[editar]

Existen varios casos de límites de funciones que involucran la noción del infinito, definiremos cada uno de ellos en las secciones siguientes.

Variable que tiende a infinito[editar]

Dado ε, puede establecerse R de modo que f(x) se «acerque» a L, a medida que x se aleja del origen ilimitadamente.

Cuando una variable tienda a infinito, supongamos x, utilizaremos el símbolo del infinito de esta manera x \to\infty. Esto significa que la variable x toma valores arbitrariamente grandes, en magnitud. Analíticamente diremos que, fijado cierto número real R, x lo superará en valor absoluto, cualquiera sea el R tomado.

x \to \infty \iff \forall R > 0, |x| > R.

Para esta definición tomaremos, como caso particular, dos «signos del infinito».

  1. Si es x > 0, diremos que x tiende a más infinito o al infinito «positivo». Lo denotaremos así, x\to+\infty.
  2. Si x<0, \ x\to-\infty significa que x tiende a menos infinito.

Resulta de especial interés el comportamiento de ciertas funciones en el infinito. Cuando estos límites existen, y son números reales, podemos construir la ecuación de las asíntotas horizontales u oblicuas de la función. Definiremos entonces el límite de una función, cuando la variable independiente tiende a infinito, para cualquier signo.

El límite de una función f(x) cuando x tiende a infinito es L si y sólo si para todo \varepsilon>0, \exists R>0 tal que, para todo x en el dominio de f, se cumple la implicación |x|>R \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.

Si sólo se toma uno de los casos, basta añadir la restricción correspondiene. Por ejemplo, si queremos calcular el límite de x\to-\infty, consideraremos la definición anterior con la salvedad de que x<0.

Tomemos como ejemplo f(x)=\frac{1}{x^2+1}, definida \forall x \in \mathbb R. A medida que damos valores muy grandes a x en valor absoluto, f decrece y se acerca a cero. Esto se puede demostrar con la definición dada.

Demostración
\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^2+1}=0\iff\forall\varepsilon>0, \exists R>0 / \ |x|>R\Rightarrow \left|\frac{1}{x^2+1}\right|<\varepsilon

Dado que R es arbitrario, conviene tomarlo en función de \varepsilon de esta manera R=\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}. De este modo, si tomamos 0<\varepsilon<1 existe un R, pues este último está en función del primero. Esto es válido, ya que \varepsilon también es arbitrario, por tratarse de cualquier número positivo. Demostremos, con estas hipótesis, la implicación

(**)|x|>\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}\Rightarrow \left|\frac{1}{x^2+1}\right|<\varepsilon

Partimos de |x|>\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}-1}\Rightarrow x^2>\frac{1}{\varepsilon}-1\Rightarrow x^2+1>\frac{1}{\varepsilon}\Rightarrow \frac{1}{x^2+1}<\varepsilon. Siendo f una función estrictamente positiva \forall x vale que f(x)=|f(x)|, por lo tanto queda demostrada (**).

Como \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^2+1}=0, la ecuación y=0 determina la asíntota horizontal de la función.

Función que tiende a infinito[editar]

Tomando R arbitrariamente grande, podemos establecer un δ de modo que cuando x se acerque a c, f(x) supere a R en valor absoluto.

Dada cierta función f, diremos que tiende a infinito cuando crezca indefinidamente, a medida que nos acercamos a cierto punto c en el dominio. Esto equivale a afirmar que f no está acotada, para valores del dominio «suficientemente cercanos» a c. Esto se denota así \lim_{x\to c}f(x)=\infty, o también, se escribe f(x)\to\infty.

Si tomamos a la función f como una variable, por ejemplo, y, podemos utilizar la definición de variable que tiende a infinito, y combinarla con la definición de límite, de la siguiente manera.

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c, es infinito si y sólo si para todo R > 0 existe un \delta > 0 tal que, para todo punto x en el dominio de f, se cumple 0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)|>R.

En símbolos,

\lim_{x\to c}f(x)=\infty\iff\forall R>0, \exists \delta > 0 / \forall x \in \mathrm{Dom}(f),  0 < |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)|>R.

Como ejemplo, tomemos la función racional f(x)=\frac{1}{x}, cuya gráfica en el plano es una hipérbola equilátera centrada en el origen de coordenadas. Tomando x muy cercano a cero, la función f(x) toma valores muy grandes, por eso se dice que f(x) tiende a infinito cuando x tiende a cero. Esto puede demostrarse con la definición.

Demostración
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty\iff\forall R>0, \exists \delta > 0 / 0 < |x-0|<\delta \Rightarrow \left|\frac{1}{x}\right|>R

Tomemos \delta = \frac{1}{R}, en este caso la demostración es inmediata ya que 0<|x-0|<\frac{1}{R}\Rightarrow|x|<\frac{1}{R}\Rightarrow\left|\frac{1}{x}\right|>R.

Cuando una función tiende a infinito en un punto determinado c del dominio, la recta que determina la ecuación x = c, es decir, todo punto de la forma (c,t) \forall t \in \mathbb R, se denomina asíntota vertical de la función. Para el ejemplo dado, x=0 es la asíntota vertical.

El hecho de que \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty no implica que sea posible la división por cero. Según la definición de este límite, 0<|x|<\delta\Rightarrow x\ne0, con lo cual, \frac{1}{0}\ne\infty. En definitiva, \not\exists \frac{1}{0} es decir, está expresión es indefinida.

Tomemos otro ejemplo, la función logaritmo natural.

\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty

Recurrimos al límite lateral ya que el logaritmo sólo está definido para x>0 en los reales.

Demostración
Tomar \delta = e^{-R}, por lo tanto 0<x<e^{-R}\Rightarrow \ln(x)<-R y queda demostrado el límite, ya que siendo R>0, \ln(x)<-R significa que dado cualquier R podemos tomar a la función más pequeña que este número.

Esta función tiene una asíntota vertical x=0, igual que la anterior.

Ambos casos[editar]

A medida que tomamos M cada vez más grande, podemos establecer R de modo que f supere a M en valor absoluto cuando lo hace x, con respecto a R.

Pueden darse ambos casos al mismo tiempo, por ejemplo, cualquier función polinómica de x tiende a infinito, cuando x tiende a infinito. En este tipo de casos definiremos al límite como sigue.

El límite de una función f(x) es infinito, cuando x tiende a infinto, si y sólo si para todo M > 0 existe un R>0 para el cual se cumple |x|>R\Rightarrow|f(x)|>M, siempre que x\in\mathrm{Dom}(f).

Tomemos como ejemplo a la función afín f(x)=3x-5, que es un caso particular de función polinómica. Siendo su gráfica una recta, intuitivamente podemos imaginar que tomando puntos de x «muy grandes» o «muy pequeños» los valores de f(x), es decir, la «altura», se hace muy grande o pequeña con respecto a x.

Demostración
Demostremos que \lim_{x\to\infty}(3x-5)=\infty. Escribamos la definición

\lim_{x\to\infty}(3x-5)=\infty\iff\forall M > 0 , \exists R > 0 / |x| > R \Rightarrow |3x-5|>M.

Para esta demostración tomaremos \textstyle R=\frac{1}{3}(M+5).

\textstyle
 |3x-5| \geq 3|x|-5 > 3 \cdot \frac{1}{3}(M+5) - 5 = M

QED.

Cálculo de límites[editar]

Los conceptos definidos permiten introducir herramientas para el cálculo de límites. A partir de las definiciones pueden demostrarse propiedades algebraicas, listadas en detalle a continuación.

Propiedades generales[editar]

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

Límite de Expresión
Una constante  \lim_{x \to c} k =\, k,\, \textrm{donde }\ k\in \R \,
La función identidad  \lim_{x \to c} x = \, c \,
El producto de una función y una constante  \lim_{x \to c} kf(x) =\, k\lim_{x \to c} f(x)\,
Una suma  \lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)\,
Una resta  \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)\,
Un producto  \lim_{x \to c} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)\,
Un cociente  \lim_{x \to c} {{f(x)}\over {g(x)}} =\, {{\lim_{x \to c} {f(x)}} \over {\lim_{x \to c} {g(x)}}}\,\ \mbox{si } \lim_{x \to c} g(x) \ne 0,
Una potencia  {\lim_{x \to c}  f(x)^{g(x)}} =\, {\lim_{x \to c} f(x)^{\lim_{x \to c} g(x)}}\,\ \mbox{si } f(x) > 0
Un logaritmo  {\lim_{x \to c} \log f(x)} =\, \log {\lim_{x \to c} f(x)}
El número e  {\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{1 \over x}} =\, {\lim_{x \to \infty} \left(1+{1 \over x}\right)^x } =\, e
Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal  {\lim_{x \to c} \left(f(x) \cdot g(x)\right)} =\, 0.

Indeterminaciones[editar]

Las propiedades generales permiten, junto con la definición, calcular límites indeterminados mediante transformaciones algebraicas. Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las que se muestran en la tabla siguiente. Considerar \infty \,\! como el límite que tiende a infinito y 0, \, 1 \,\! al límite de una función que tiende a 0 o 1, respectivamente.

Operación Indeterminación
Sustracción \infty - \infty
Multiplicación \infty \cdot 0
División \cfrac{\infty}{\infty}, \cfrac{0}{0}
Elevación a potencia 1^\infty, \infty ^0, 0^0
Ejemplo.

0/0 es una indeterminación, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de un límite que tiende a cero sobre otro que también tiende a cero ya que el resultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\infty \lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=1 \lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=0

Nótese que hubiera sido imposible «eliminar» las indeterminaciones en los ejemplos anteriores si no se hubiera supuesto t\ne0, desigualdad que se deduce de la definición.

Regla de l'Hôpital[editar]

Esta regla hace uso de la derivada y tiene un uso condicional. Ésta sólo puede usarse directamente en límites que son «igual» a 0/0 o a ±∞/±∞. Otras formas indeterminadas requieren alguna manipulación algebraica, por lo general, establecer que el límite es igual a y, tomar el logaritmo natural en ambos miembros, y entonces aplicar la regla de l'Hôpital.

  • \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Por ejemplo: \lim_{x \to 0} \frac{\sin (2x)}{\sin (3x)} =
\lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2x)}{3 \cos (3x)} =
\frac{2 \sdot 1}{3 \sdot 1} =
\frac{2}{3}.

Límites trigonométricos[editar]

  1.  {\lim_{x \to \infty} x \; \sin \left (\frac {2\pi}{x} \right ) \cos \left (\frac {2\pi}{x} \right )} =\,2\pi
  2.  {\lim_{x \to 0} {{\sin x} \over x}} = {\lim_{x \to 0} {{x \over \sin x}}} =\, 1 \,
  3.  {\lim_{x \to 0} {\tan x \over x}} = {\lim_{x \to 0} {x \over \tan x}} =\, 1 \,
  4.  {\lim_{x \to 0} {\sin x \over \tan x}}\, = {\lim_{x \to 0} {\tan x \over \sin x}} =\, 1
  5.  {\lim_{x \to 0} \frac {1-\cos x}{x^2} } =\, 1/2 \,

Demostraciones[editar]

Algunas demostraciones, por ejemplo, el segundo de estos límites trigonométricos, requieren el uso de la inecuación sin(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sin(x), obteniendo:

1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

\lim_{x\to 0} \cos x < \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} < \lim_{x\to 0} 1

Lo que es igual a:

1 < \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} < 1

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

El tercero de los límites se logra demostrar utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

 
{\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} =  
{\lim_{x \to 0} \left (\frac {\sin x}{x} \right )} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}=
1 \cdot 1 = 1

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. MacTutor History of Bolzano
  2. a b Jeff Miller's history of math website.
  3. MacTutor History of Weierstrass.
  4. Kolmogorov, Andrei (1978). «Espacios métricos y topológicos». Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional (3 edición). Moscú: Mir. 

Enlaces externos[editar]