Gráfica de una función

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FunEsc Definición 01.svg
En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus potencias, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.

En matemáticas, la gráfica de una función:


   \begin{array}{rccl}
      f: & X & \longrightarrow & Y \\
         & x & \longmapsto     & y= f(x)
   \end{array}

Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen.

Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios y codominios diferentes.

Dominio de definición[editar]

El Dominio de definición D de una función es el subconjunto de X que tienen imagen en Y:


   D \subset X \; | \quad
   \forall x \in D: \;
   \exists y \in Y
   \quad \land \quad
   y= f(x)

Sin pérdida de la generalidad, consideramos, tanto el conjunto X como Y sea el de los números reales R, siendo X un intervalo o la unión de varios intervalos, podemos diferenciándose los siguientes casos:

FunEsc Dominio 01.svg

El dominio un intervalo abierto: (a,b). Se puede expresar:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   a < x < b
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor que x y x menor de b, tal que existe y número real é y= f(x).

La forma de representar el intervalo abierto, da lugar a la expresión:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   x \in (a, b)
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo abierto (a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

FunEsc Dominio 02.svg

Si el dominio un intervalo semiabierto: (a,b]. Tenemos la expresión:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   a < x \leq b
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor o igual que x y x menor de b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo semiabierto, tenemos la expresión:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   x \in (a, b]
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo semiabierto [a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

FunEsc Dominio 03.svg

Si el dominio es el intervalo semiabierto: [a,b). Tenemos la expresión:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   a \leq x < b
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor que x y x menor o igual que b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo semiabierto, tenemos la expresión:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   x \in [a, b)
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo semiabierto [a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

FunEsc Dominio 04.svg

Si el dominio un intervalo cerrado: [a,b] la expresión resultante es:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   a \leq x \leq b
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor o igual que x y x menor o igual que b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo cerrado, tenemos que:


   D = \big \{ x \in \R
   \quad \land \quad
   x \in [a, b]
   \; | \;
   \exists y \in \R
   \quad \land \quad
   y= f(x)
   \big \}

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo cerrado [a,b] , tal que existe y número real é y= f(x).

En estos ejemplos hemos podido ver, las distintas formas de representar los distintos tipos de intervalos, tanto abiertos semiabiertos o cerrados, en una expresión o en una gráfica.

Puntos de discontinuidad[editar]

En los puntos extremos de cada intervalo de definición de la función, o en los puntos intermedios de los intervalos de existencia, que presenten discuntinuidad, se presenta un punto de discontinuidad, que puede ser de alguno de estos tipos:


   \mbox{Discontinuidad}
   { \color{Red}
   \left \{
      \begin{array}{l}
         \mbox{Evitable} \\
         \mbox{Esencial}
            { \color{PineGreen}
            \left \{
               \begin{array}{l}
                  \mbox{De primera especie}
                  { \color{Blue}
                  \left \{
                     \begin{array}{l}
                        \mbox{De salto finito} \\
                        \mbox{De salto infinito} \\
                        \mbox{Asintótica}
                     \end{array}
                  \right .
                  }\\
                  
                  \\
                  \mbox{De segunda especie}
               \end{array}
            \right .
            } \\
      \end{array}
   \right .
   }

Galería de discontinuidades[editar]

Continuidad función 01.svg Continuidad función 02.svg Continuidad función 03.svg Continuidad función 04.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = \infty \\ \\
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = L \\ \\
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x)
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = L \\ \\
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
De segunda especie. De segunda especie. De segunda especie. De segunda especie.
Continuidad función 05.svg Continuidad función 10.svg Continuidad función 15.svg Continuidad función 20.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = \infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = -\infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = L
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \nexists \; \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = L \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
De segunda especie. De segunda especie. De segunda especie. De segunda especie.
Continuidad función 06.svg Continuidad función 07.svg Continuidad función 11.svg Continuidad función 12.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = \infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = \infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = -\infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = -\infty
   \end{array}
   \right .
Asintótica. Asintótica. Asintótica. Asintótica.
Continuidad función 08.svg Continuidad función 09.svg Continuidad función 13.svg Continuidad función 14.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = \infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = \infty \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = -\infty
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = -\infty \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
De salto infinito. De salto infinito. De salto infinito. De salto infinito.
Continuidad función 16.svg Continuidad función 21.svg Continuidad función 17.svg Continuidad función 22.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = L
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = L \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = L
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = -\infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = L \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right .
De salto infinito. De salto infinito. De salto infinito. De salto infinito.
Continuidad función 19.svg Continuidad función 24.svg Continuidad función 25.svg Continuidad función 18.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = L1 \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = L2 \\ \\
      L1 \ne L2
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = L1 \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = L2 \\ \\
      L1 \ne L2
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = L1 \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = L2 \\ \\
      L1 \ne L2
   \end{array}
   \right .
 
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{\lim} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{\lim} \; f(x) = L \\ \\
      \nexists \; f(a)
   \end{array}
   \right .
De salto finito. De salto finito. De salto finito. Evitable

Ejemplos[editar]

Gráfica de la función x3-9x.
  • La gráfica de la función
f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & \mbox{si }x=1 \\ b, & \mbox{si }x=2 \\ c, & \mbox{si }x=3. \end{matrix}\right.
es {(1,a), (2,b), (3,c)}.
  • La gráfica del polinomio cúbico en la recta real
f(x)={{x^3}-9x} \!\
es {(x,x3-9x) : donde x es un número real}. Si el conjunto se representa en un plano cartesiano, el resultado es como el de la imagen.

Método para representar la gráfica de una función de una variable[editar]

Una función con una variable dependiente y otra independiente se puede representar gráficamente en un eje de ordenadas y abscisas correspondiendo el valor de cada variable a la posición en los ejes. Normalmente se utiliza la variable \,x para el eje de abscisas y la variable \,y para el eje de ordenadas.

Para dibujar, construir o representar la gráfica de una función f se pueden seguir los pasos siguientes:

  1. Buscar el dominio de la función, Dom f(x)
  2. Se detectan aquellos valores x reales en que f sea discontinua, es decir, aquellos que no estén definidos en el dominio, y se procede a estudiar los límites cuando x tiene a x por la izquierda y por la derecha. De este modo, si x es un punto aislado y no un intervalo, se puede deducir hacia dónde tiende la función cuando pasa cerca del punto x.
  3. Buscar los límites cuando x tiende a infinito o menos infinito, para averiguar cuándo en el eje de abscisas se tiende al resultado del límite.
  4. Estudio de la monotonía. Calculando la primera derivada f'(x) e igualándola a cero, se obtienen los posibles candidatos a extremos de la función. Luego se procede a determinar si f(x) es creciente o decreciente entre dos puntos extremos.
  5. Se estudia la curvatura de f, igualando a cero esta vez la segunda derivada f(x), obteniéndose los posibles puntos de inflexión. Se estudia el signo en la f(x) en los intervalos, y así, sea x uno de estos puntos:
Si f(x) es negativa, entonces f(x) es cóncava
Si f(x) es positiva, entonces f(x) es convexa.

Ecuación de primer grado[editar]

Una ecuación de primer grado es fácilmente representada en un eje conociendo sus propiedades.

\,y = mx + n

En una ecuación de primer grado el número que corresponde a \,m corresponde a la tangente del ángulo que forma la recta respecto al eje de abscisas. El valor de \,n corresponde al punto que corta el eje de ordenadas.

La representación de una recta es simple: se necesitan dos valores puntos de la función a partir de dónde se va a representar la recta. Esos dos puntos son de manera general \,(0,n) y (-\frac{n}{m}, 0).

Ejemplo

Vamos a representar la función polinómica de primer grado. En primer lugar, necesitamos dos puntos de la recta. Para ello vamos a usar los puntos en los que la función corta los ejes. Es decir:

Eje OX:  \,y=2 \rightarrow x = -\frac{2}{3}
Eje OY:  \,x=0 \rightarrow y = 2

Caso general[editar]

Para representar una función \,f(x) debemos seguir los siguientes pasos:

  • El primer paso es encontrar el dominio \,D_f.
  • El segundo paso es encontrar los cortes con los ejes \,X e \,Y.
  • El tercer paso es encontrar el signo de la función en los intervalos en los que no existe el dominio o hay un corte con el eje \,X.
  • El cuarto paso es calcular las asíntotas que puede tener la función (horizontales, oblicuas y verticales).
  • El quinto paso es buscar los posibles extremos igualando la primera derivada a 0.
  • El sexto paso es estudiar la monotonía de la función. Es decir, los intervalos en los que crece o decrece.
  • El séptimo paso es encontrar los puntos de inflexión igualando la segunda derivada a 0.
  • El octavo paso es estudiar la forma (cóncava o convexa) de la función.

Ejemplo[editar]

Vamos a estudiar la representación gráfica de la función:


   f(x) =
   \cfrac{x^2+4x+3}{x^2+5x+6}
Dominio.

Los puntos en los que la función no existe son los que el denominador vale 0. Por lo tanto:


   x^2+5x+6 = 0
   \; \rightarrow \;
   \begin{cases}
      x = -3 \\
      x = -2
   \end{cases}

Es decir, el dominio será:


   D_f =
   (-\infty,-3)\cup(-3,-2)\cup(-2,+\infty)
Cortes con los ejes.

Los cortes con el eje \,X se encuentran cuando \,y=0 y el corte con el eje \,Y cuando \,x=0. Por lo tanto:

Cortes eje x es cuando el numerador vale 0:


   x^2+4x+3 = 0
   \; \rightarrow \;
   \begin{cases}
      x=-3 \\
      x=-1
   \end{cases}

Cortes eje y es el valor de la función para x= 0:


   y = f(0)= \frac{0^2+4 \cdot 0+3}{0^2+5 \cdot 0+6}
   \; \rightarrow \;
   y = f(0) = \frac{1}{2}
Signo.

El signo de un intervalo no cambia a menos que haya una discontinuidad o un corte en el eje  \,X . Por tanto, para estudiar el signo vamos a usar los intervalos dónde tenemos la seguridad que el signo no va a cambiar, que son los siguientes:

(-\infty, -3) \rightarrow +
(-3, -2) \rightarrow +
(-2, -1) \rightarrow -
(-1, +\infty) \rightarrow +


Asíntotas.
Verticales: Las asíntotas verticales ocurren cuando la función tiende a infinito por un valor real de la variable. Es decir, cuando el denominador es igual a 0. Para encontrarlas debemos hacer el límite cuando \,x tiende a esos valores.
\lim_{x \to -3}\, \frac{x^2+4x+3}{x^2+5x+6} = \lim_{x \to -3} \frac{(x+1)(x+3)} {(x+2)(x+3)} = 2
\lim_{x \to -2}\, \frac{x^2+4x+3}{x^2+5x+6} = \lim_{x \to -2} \frac{-1}{0} = \infty
Por lo que hay una asíntota vertical \,x=-2 y un punto vacío para \,x=-3.
Horizontales: Si el límite cuando x \to \pm \infty tiende a un número, decimos que hay asíntota horizontal.
\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+4x+3}{x^2+5x+6} = 1
\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+4x+3}{x^2+5x+6} = 1
Por lo que hay asíntota horizontal \,y=1 tanto por la derecha como por la izquierda. Además, no habrá ninguna asíntota oblicua.
Posibles extremos.

Los extremos relativos se encuentran buscando los valores por los que f^{\prime}(x)=0. Por lo tanto, primero debemos encontrar la derivada de la función:

f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^2 + 4x +4}

Y ahora buscar los valores por los cuales vale cero:

\frac{1}{x^2 + 4x +4}=0
1=0\,

No tiene solución, por lo que no habrá extremos relativos.

Crecimiento.

Vamos a estudiar los intervalos en los que la primera derivada es positiva o negativa, es decir, los intervalos en los que la función crece o decrece.

(-\infty, -2)\rightarrow f^{\prime}(x)=+ \rightarrow f(x) \; \mathrm{crece}
(-2,+\infty) \rightarrow f^{\prime}(x)=+ \rightarrow f(x) \; \mathrm{crece}

Por lo que la función crece en la totalidad de sus puntos.

Puntos de inflexión.

A partir de la segunda derivada f^{\prime\prime}(x) vamos a encontrar los puntos de inflexión.

f^{\prime\prime}(x)=-{\frac{2}{x^3+6\,x^2+12\,x+8}}

Igual que antes, no tiene solución, por lo que no hay puntos de inflexión.

Gráfica
AnaFun 001.svg


La función está definida para todo x real, excepto para los puntos de discontinuidad: x= -3 y x=-2, en el primer punto presenta una discontinuidad evitable, dándole el valor (-3,2), en el segundo la discontinuidad es asintotica, siendo la recta vertical x= -2 la asintota.

La función corta al eje x en el punto (-1,0) y al eje y en (0, 0’5).

Para valores de x menores de –2 y mayores de –1 la función toma valores positivos, y para valores comprendidos entre –2 y –1, la función toma valores negativos.

La función es creciente y convexa en todo el domino de definición, y tiene una asíntota horizontal y= 1

Véase también[editar]

Herramientas para dibujar la gráfica de una función[editar]

Enlaces externos[editar]