Notación matemática

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La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, la notación matemática, que sigue una serie de convenciones propias. Los símbolos representan un concepto, una relación una operación, o una fórmula matemática según ciertas reglas. Estos símbolos no deben considerarse abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.

Algunos principios básicos son:

  • Los símbolos de una letra se representan en letra cursiva: a, b, i, k, x, y, etc.
  • Los símbolos de varias letras se representan en letra redonda: cos α, exp x, etc.; en lugar de ln x no debe escribirse ln x, porque eso representaría el producto l · n · x en lugar del logaritmo neperiano.
  • Según la norma ISO 31 los operadores diferenciales y las constantes matemáticas universales (e, i), también se escriben con letra redonda: aex.[1]

Teoría de conjuntos[editar]

Sean x un elemento y A, B conjuntos

Relación Notación Se lee
pertenencia x ∈ A x pertenece a A
inclusión A ⊂ B A está contenido en B
A ⊆ B A está contenido en B o es igual que B
inclusión A ⊃ B A contiene a B
A ⊇ B A contiene a B o es igual que B

Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo x ∉ A es "x no pertenece a A";

Conjuntos numéricos[editar]

La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan blackboard bold. Se muestra el símbolo creado con LaTeX, el carácter Unicode equivalente (podría no ser visible dependiendo del navegador y los tipos de letra disponibles), y su significado habitual en matemáticas:

TeX Unicode Uso en matemáticas
\mathbb C \! Números complejos
\mathbb H\! Cuaterniones
\mathbb N\! Números naturales
\mathbb P\! Números primos
\mathbb Q\! Números racionales
\mathbb R\! Números reales
\mathbb S \! 𝕊 Esfera
\mathbb Z\! Números enteros

Conjuntos numéricos especiales[editar]

= {1, 2, 3, ...}
0 = * = ∪ {0} = {1, 2, 3, ...}
= {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
+ = \ = {0, 1, 2, 3, ...}
= {p : p = a/b / a, bb ≠ 0}
= {p : p = a/b / ab }
= El conjunto de los números reales
Irracionales = \
= ∪ {+∞} = La recta real ampliada
= {c : c = a + b · i / a, bi2 = –1}
\mathbb S \!1 = {z : || z || = 1}

Expresiones[editar]

Relación Notación Se lee
igualdad x = y x es igual a y
menor que x < y x es menor que y
mayor que x > y x es mayor que y
aproximado xy x es aproximadamente igual a y

Cuantificador

Notación Se lee
cuantificador universal x ... para todo x
cuantificador existencial x ... Existe por lo menos un x
cuantificador existencial con marca de unicidad ∃!x ... Existe un único x
tal que  x \mid y o bien xy x, tal que y
por lo tanto xy x, por lo tanto y

Ejemplo:

Teorema de Weierstrass:

"Sea f una función real continua en un intervalo real cerrado y acotado [a, b], donde a es estrictamente menor que b.

Se tiene que:

  • La función f está acotada.
  • La función f alcanza un máximo y un mínimo en dicho intervalo, no necesariamente únicos."

Este teorema se puede expresar con notación matemática de la siguiente forma:

"f : [a, b] ⊆ , a < b =⇒ ∃r, s ∈ [a, b] | f(r) ≤ f(x) ≤ f(s), ∀x ∈ [a, b]".

Lógica proposicional, Álgebra de Boole[editar]

Operadores básicos[editar]

Los operadores lógicos más básicos son la conjunción, la disyunción, y la negación.

Sean p y q dos proposiciones

Operación Notación Se lee
Negación ¬p o ~p no p
Conjunción pq p y q
Disyunción pq p o q

Los operadores básicos se usan para formar declaraciones atómicas. Las declaraciones atómicas dicen cual combinación de pp y qq es verdad.

Implicación[editar]

Una combinación muy útil de los operadores matemáticos es la implicación. Se escribe pq o pq como abreviatura de ¬pq. La declaración "p implica q" es falsa siempre que p sea verdad pero no necesariamente q.

Si pq y qp, se escribe pq, que se lee "p implica y es implicada por q", o bien "p si y solo si q".

Uno de los usos más comunes de los operadores lógicos se encuentra en la Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de toma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana, por ejemplo:

Si salgo tarde de mi casa y no tengo vehículo, entonces llegaré tarde al trabajo.

Conjunción: Salgo tarde no tengo vehículo llegaré tarde al trabajo.

Viajo en autobús o viajo en mi coche, no las dos cosas a la vez.

Disyunción lógica: viajo en bus viajo en mi auto o lo uno o lo otro.
Contradiciones del lenguje

Si decimos: aquí no hay nadie y aplicamos literalmente la doble negación expresada en nuestro hablar cotidiano, entonces, podríamos entender que aquí hay alguien.

Negación lógica: no ¬ hay nadie aquí hay alguien.

Si una empresa no produce nada, podríamos entender que la empresa produce algo.

Negación lógica: no ¬ produce nada produce algo.

Cuantificadores[editar]

Hasta ahora las declaraciones que podemos hacer no dicen cuándo son verdades. Para decirnos cuándo una declaración es verdad, necesitamos los cuantificadores. Hay tres cuantificadores básicos: el cuantificador universal, el cuantificador existencial y el cuantificador existencial con marca de unicidad. Aquí están los símbolos.

Nombre Notación Se lee
cuantificador universal x ... Para todo x...
cuantificador existencial x ... Existe por lo menos un x...
cuantificador existencial con marca de unicidad ∃!x ... Existe un único x...

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma x, p o y | q que se leen "para todo x, es verdad que p" y "existe por lo menos un y tal que q es verdad".

Estos dos últimos cuantificadores pueden usarse para lo mismo, ya que ¬∀x, p dice lo mismo que dice xp. En palabras, decir "no es para todo x que p es verdad" es igual que decir "existe x tal que p es falsa".

Teoría de números[editar]

Análisis matemático[editar]

Análisis real[editar]

Límites[editar]

Para decir que el límite de la función f es L cuando x tiende a a, se escribe:

\lim_{x \to a} f(x) =  L o bien f(x) \to L.

Igualmente, para decir que la sucesión \{a_n\} va a a cuando n tiende a la infinidad, se escribe:

\lim_{n \to \infty} a_n = a o bien a_n \to a.

Derivadas[editar]

Derivadas ordinarias[editar]

Se define la derivada de una función como el límite del cociente del cambio en la ordenada y la abscisa. Hay varias notaciones para denotar la derivada de una función de una sola variable:

 y= f(x) \,

Las derivadas serían:

 y' \quad f'(x) \quad \frac{d}{dx}f(x) \quad \frac{dy}{dx}  \quad D_x (y) \quad D_x (f(x))
Derivadas parciales[editar]

Si la función depende de dos o más variables, por ejemplo:

 z= f(4,57) \,

Las derivadas parciales respecto a cada una de las variables independientes:


   \frac{\partial z}{\partial x} \quad
   \frac{\partial}{\partial x}f(x,y) \quad
   \frac{\partial z}{\partial y} \quad
   \frac{\partial}{\partial y}f(x,y)

   \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \quad
   \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}f(x,y) \quad
   \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \quad
   \frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y) \quad
   \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \quad
   \frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y)

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Aunque en ocasiones, es complicado adherirse a esta regla. Considérese, por ej. que el TeX genera todas las letras individuales en cursivas; para que aparezcan en redondas, hay que efectuar el cambio de la fuente.

Enlaces externos[editar]