Notación matemática

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La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, la notación matemática, que sigue una serie de convenciones propias. Los símbolos representan un concepto, una relación una operación, o una fórmula matemática según ciertas reglas. Estos símbolos no deben considerarse abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.

Algunos principios básicos son:

  • Los símbolos de una letra se representan en letra cursiva:  \scriptstyle a, \, b, \, i, \, k, \, x, \,y , etc.
  • Los símbolos de varias letras se representan en letra redonda:  \scriptstyle \cos \alpha, \, \exp x, etc.; en lugar de  \scriptstyle \ln x no debe escribirse  \scriptstyle lnx, porque eso representaría el producto  \scriptstyle l \cdot n \cdot x en lugar del logaritmo neperiano.
  • Según la norma ISO 31 los operadores diferenciales y las constantes matemáticas universales ( \scriptstyle  \text{e}, \, \text{i} ), también se escriben con letra redonda:  \scriptstyle a \text{e}^x.[1]

Teoría de conjuntos[editar]

Sean x un elemento y A,B conjuntos

Relación Notación Se lee
pertenencia x\in A x pertenece a A
inclusión A\subset B A está contenido en B
A\subseteq B A está contenido en B o es igual que B
inclusión A\supset B A contiene a B
A\supseteq B A contiene a B o es igual que B

Una barra cruzada sobre el símbolo niega el enunciado; por ejemplo x\not\in A es "x no pertenece a A";

Conjuntos numéricos[editar]

La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan blackboard bold. Se muestra el símbolo creado con LaTeX, el carácter Unicode equivalente (podría no ser visible dependiendo del navegador y los tipos de letra disponibles), y su significado habitual en matemáticas:

TeX Unicode Uso en matemáticas
\mathbb C \! Números complejos
\mathbb H\! Cuaterniones
\mathbb N\! Números naturales
\mathbb P\! Números primos
\mathbb Q\! Números racionales
\mathbb R\! Números reales
\mathbb S \! 𝕊 Esfera
\mathbb Z\! Números enteros

Conjuntos numéricos especiales[editar]

\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}
\mathbb{N}_0 =\mathbb{N}^{*} =\mathbb{N}\cup\{0\}= \{0,1,2,3,\ldots\}
\mathbb{Z} = \{\ldots -3,-2,-1,0,1,2,3\ldots\}
\mathbb{Z}^+ = \mathbb{Z}\setminus\mathbb{Z}^-= \{0,1,2,3,\ldots\}
\mathbb{Q} = \{ p: \quad p= \frac{a}{b} \quad / \quad a, b \in\mathbb{Z} \quad \and \quad b\neq 0\}
\mathbb{Q} = \{ p: \quad p= \frac{a}{b} \quad / \quad a \in\mathbb{Z} \quad \and \quad b \in\mathbb{N} \}
\mathbb{R} = \mbox{El conjunto de los números reales }
\mathrm{Irracionales} =\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\overline{\mathbb{R}} =\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} = \mbox{ La recta real ampliada}
\mathbb{C} = \{ c: \quad c = a + b \cdot i \quad / \quad a, b \in\mathbb{R}\quad \and \quad i^2 = -1 \}
\mathbb{S}^1 = \{z\in\mathbb{C} \colon \|z\|=1\}

Expresiones[editar]

Relación Notación Se lee
igualdad  x = y x es igual a y
menor que  x < y x es menor que y
mayor que  x > y x es mayor que y
aproximado  x \approx y x es aproximadamente igual a y

Cuantificador

Notación Se lee
cuantificador universal \forall x\ ... para todo x
cuantificador existencial \exists x\ ... Existe por lo menos un x
cuantificador existencial con marca de unicidad \exists! x\ ... Existe un único x
tal que x \mid y o bien x \ni y x, tal que y
por lo tanto x \therefore y x, por lo tanto y

Ejemplo:

Teorema de Weierstrass:

"Sea f una función real continua en un intervalo real cerrado y acotado [a, b], donde a es estrictamente menor que b.

Se tiene que:

  • La función f está acotada.
  • La función f alcanza un máximo y un mínimo en dicho intervalo, no necesariamente únicos."

Este teorema se puede expresar con notación matemática de la siguiente forma:

"  f : [a,b] \subseteq \mathbb R \longrightarrow \mathbb R, a < b \Longrightarrow \exists r, s \in [a, b] \mid f(r) \leq f(x) \leq f (s), \forall x \in [a,b] ".

Lógica proposicional, Álgebra de Boole[editar]

Operadores básicos[editar]

Los operadores lógicos más básicos son la conjunción, la disyunción, y la negación.

Sean p y q dos proposiciones

Operación Notación Se lee
Negación \neg p no 'p'
Conjunción p \and q 'p' y 'q'
Disyunción p \or q 'p' o 'q'

Los operadores básicos se usan para formar declaraciones atómicas. Las declaraciones atómicas dicen cual combinación de pp y qq es verdad.

Implicación[editar]

Una combinación muy útil de los operadores matemáticos es la implicación. Se escribe p \to q o p \Rightarrow q como abreviatura de \neg p \or q. La declaración "p implica q" es falsa siempre que p sea verdad pero no necesariamente q.

Si p \Rightarrow q y q \Rightarrow p, se escribe p \Leftrightarrow q, que se lee "p implica y es implicada por q", o bien "p si y sólo si q".

Uno de los usos más comunes de los operadores lógicos se encuentra en la Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de toma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana, por ejemplo:

Si salgo tarde de mi casa y no tengo vehículo, entonces llegaré tarde al trabajo.

Conjunción: Salgo tarde \and no tengo vehículo \Rightarrow llegaré tarde al trabajo.

Viajo en autobús o viajo en mi coche, no las dos cosas a la vez.

Disyunción lógica: viajo en bus \or viajo en mi auto \Rightarrow o lo uno o lo otro.
Contradiciones del lenguje

Si decimos: aquí no hay nadie y aplicamos literalmente la doble negación expresada en nuestro hablar cotidiano, entonces, podríamos entender que aquí hay alguien.

Negación lógica: no \neg hay nadie \Rightarrow aquí hay alguien.

Si una empresa no produce nada, podríamos entender que la empresa produce algo.

Negación lógica: no \neg produce nada \Rightarrow produce algo.

Cuantificadores[editar]

Hasta ahora las declaraciones que podemos hacer no dicen cuándo son verdades. Para decirnos cuándo una declaración es verdad, necesitamos los cuantificadores. Hay tres cuantificadores básicos: el cuantificador universal, el cuantificador existencial y el cuantificador existencial con marca de unicidad. Aquí están los símbolos.

Nombre Notación Se lee
cuantificador universal \forall x\ldots Para todo x...
cuantificador existencial \exists x\ldots Existe por lo menos un x...
cuantificador existencial con marca de unicidad \exists ! x\ldots Existe un único x...

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma \forall x\ ,\ p \quad o \quad \exists y \mid q que se leen "para todo x, es verdad que p" y "existe por lo menos un y tal que q es verdad".

Estos dos últimos cuantificadores pueden usarse para lo mismo, ya que \neg \forall x\ ,\ p dice lo mismo que dice \exists x | \neg p. En palabras, decir "no es para todo x que p es verdad" es igual que decir "existe x tal que p es falsa".

Teoría de números[editar]

Análisis matemático[editar]

Análisis real[editar]

Límites[editar]

Para decir que el límite de la función f es L cuando x tiende a a, se escribe:

\lim_{x \to a} f(x) =  L o bien f(x) \to L.

Igualmente, para decir que la sucesión \{a_n\} va a a cuando n tiende a la infinidad, se escribe:

\lim_{n \to \infty} a_n = a o bien a_n \to a.

Derivadas[editar]

Derivadas ordinarias[editar]

Se define la derivada de una función como el límite del cociente del cambio en la ordenada y la abscisa. Hay varias notaciones para denotar la derivada de una función de una sola variable:

 y= f(x) \,

Las derivadas serían:

 y' \quad f'(x) \quad \frac{d}{dx}f(x) \quad \frac{dy}{dx}  \quad D_x (y) \quad D_x (f(x))
Derivadas parciales[editar]

Si la función depende de dos o más variable, por ejemplo:

 z= f(4,57) \,

Las derivadas parciales respecto a cada una de las variables independientes:


   \frac{\partial z}{\partial x} \quad
   \frac{\partial}{\partial x}f(x,y) \quad
   \frac{\partial z}{\partial y} \quad
   \frac{\partial}{\partial y}f(x,y)

   \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \quad
   \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}f(x,y) \quad
   \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \quad
   \frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y) \quad
   \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \quad
   \frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y)

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Aunque en ocasiones, es complicado adherirse a esta regla. Considérese, por ej. que el TeX genera todas las letras individuales en cursivas; para que aparezcan en redondas, hay que efectuar el cambio de la fuente.

Enlaces externos[editar]