Cuaternión

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

Los cuaterniones (también llamados cuaternios) son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que i^2 = -1, los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga añadiendo las unidades imaginarias: i, j y k a los números reales y tal que i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1. Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicación: la Tabla de Cayley.

1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1

1, i, j, k, son entonces las "bases" de las componentes de un cuaternión.

Representaciones de los cuaterniones[editar]

Vectorial[editar]

Un cuaternión puede expresarse como el conjunto:

\mathbb{H} = \left \{ a + bi + cj + dk : a, b, c, d \in \mathbb{R} \right \}
\subset \R^4

o equivalentemente:

\mathbb{H} = \left \{ (a + bi) + (c + di)j : a+bi, c+di \in \mathbb{C} \right \}
\subset \mathbb{C}^2

Entonces un cuaternión es un número de la forma a + bi + cj + dk, donde a, b, c, y d son números reales unívocamente determinados por cada cuaternión.

Análogamente, un cuaternión puede expresarse como el producto interno (componente a componente) de dos vectores, de los cuales uno es el de las componentes \vec{x} = (a_1, a_2, a_3, a_4), y el otro el de las "bases": \{1,\ i,\ j,\ k\}. En este caso, el elemento a1 que forma la componente real se anota aparte, y para el producto interno se consideran solamente las tres bases i, j, k:

 x = \left (a_1, \vec{a} \right) = \left (a_1, a_2, a_3, a_4 \right )

Esta representación tiene algunas ventajas que pueden ser vistas en algunas operaciones como el producto de cuaterniones.

Matricial[editar]

Además hay, al menos, dos formas, isomorfismos, para representar cuaterniones con matrices. Así el cuaternión q = a+bi+cj+dk\, se puede representar:

  • Usando matrices complejas de 2x2:

 \begin{pmatrix}
  a+bi & c+di \\
  -c+di & a-bi
\end{pmatrix}

Donde el conjunto de todas las matrices anteriores se designa mediante U(2). Cuyo subconjunto SU(2), los cuatenios unitarios, juegan un papel importante en la teoría de gauge y de donde es fácil ver que el determinante es igual a a^2+b^2+c^2+d^2 = \|q\|^2\,. Una propiedad interesante de esta representación es que todos los números complejos son matrices que sólo tienen componentes reales.
  • Usando matrices reales de 4x4:

\begin{pmatrix}
  a &  b &  c &  d \\
 -b &  a & -d & -c \\
 -c &  d &  a & -b \\
 -d & -c &  b &  a
\end{pmatrix}

También en este caso el determinante de la matriz resulta igual a a^2+b^2+c^2+d^2 = \|q\|^2\,

Aritmética básica de cuaterniones[editar]

Definimos la suma y producto entre cuaternios mediante la aritmética usual de las matrices y de los números complejos. Puede comprobarse que el conjunto \mathbb{H}, junto con estas operaciones, satisface todas las propiedades de un campo con excepción del producto que no es conmutativo.

\begin{align} a &= a_1 + a_2i + a_3j + a_4k\\
b &= b_1 + b_2i + b_3j + b_4k
\end{align}

Adición[editar]

La adición se realiza análogamente a como se hace con los complejos, es decir: término a término:

\ a + b = (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2)i + (a_3 + b_3)j + (a_4 + b_4)k

Producto[editar]

El producto se realiza componente a componente, y está dado en su forma completa por:

\begin{align} a  b &= (a_1b_1 - a_2b_2 - a_3b_3 - a_4b_4)
+ (a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_4 - a_4b_3)i\\
&+ (a_1b_3 - a_2b_4 + a_3b_1 + a_4b_2)j +
(a_1b_4 + a_2b_3 - a_3b_2 + a_4b_1)k
\end{align}

Una forma ligeramente más reducida puede ser: a  b = 
(\alpha, \vec{a})\ (\beta, \vec{b})
 ab = 
\left (\alpha\beta - \vec{a}\cdot\vec{b},\ \alpha\vec{b} + \vec{a}\beta + \vec{a}\times\vec{b} \right )

El producto entre cuaterniones es asociativo y no es conmutativo.

Conjugación[editar]

  • El conjugado de un cuaternión  x = x_1 + x_2i + x_3j + x_4k está dado por \bar x = x_1 - x_2i - x_3j - x_4k. En otras palabras, el conjugado invierte el signo de los componentes "agregados" del cuaternión. Matricialmente esto corresponderá a la operación de transposición de cualquiera de sus representaciones matriciales.
  • La medida o valor absoluto de un cuaternión x está dado por:

\left \| x \right \| = \sqrt{x\bar x} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2} Matricialmente, esta medida coincide con la raíz cuadrada del determinante de la matiz que representa al cuaternión. Esta medida cumple una propiedad similar al módulo de un número complejo: |zw| = |w| |z| para cualesquiera cuaterniones z y w.

Usando como norma el valor absoluto, los cuaterniones conforman un álgebra de Banach real.

Cociente[editar]

Usando la forma del inverso, es posible escribir el cociente de dos cuaterniones como:

\frac{a}{b} = \frac{a \bar b}{\left\|b\right\|{}^2}

El inverso multiplicativo de un cuaternión x, distinto de cero, está dado por:
x^{-1} = \frac{\bar x}{x\bar x} = \frac{\bar x}{\left \| x \right \| {}^2}. El cual es mismo patrón que cumplen los números complejos.

Exponenciación[editar]

La exponenciación de números cuaterniónicos, al igual que sucede con los números complejos, está relacionada con funciones trigonométricas. Dado un cuaternión escrito en forma canónica q = a + bi + cj + dk su exponenciación resulta ser:

e^q = e^{a+bi+cj+dk} =e^a
\left(\cos \sqrt{b^2+c^2+d^2} +\frac{\sin \sqrt{b^2+c^2+d^2}}{\sqrt{b^2+c^2+d^2}}(bi+cj+dk)\right)

Comparación con matrices[editar]

La multiplicación de matrices no es, en general, conmutativa al igual que en el caso de los cuaterniones. Sin embargo, tampoco todas las matrices poseen un inverso multiplicativo mientras que todos los cuaternios diferentes del cero si son invertibles.

Detalles algebraicos[editar]

Los cuaterniones son un ejemplo de cuerpo asimétrico (a veces llamado anillo con división), una estructura algebraica parecida a un cuerpo pero no conmutativo en la multiplicación, es decir: satisfacen todas las propiedades de un cuerpo con excepción de que el producto no es conmutativo. La multiplicación es asociativa y todo cuaternión no nulo posee un único inverso. Forman una \R-álgebra asociativa 4-dimensional sobre los reales y los complejos forman un subconjunto de ella, los cuaterniones no forman un álgebra asociativa sobre los complejos.

Usando la función distancia definida como d(z,w) = |z - w|, los cuaterniones forman un espacio métrico y todas las operaciones aritméticas son continuas.

El conjunto de los cuaterniones de valor absoluto 1 forman una esfera 3-dimensional S³ y un grupo (incluso grupo de Lie) con la multiplicación. Este grupo actúa, mediante conjugación, sobre la copia de R³ constituida por los cuaterniones cuya parte real es cero. No es difícil comprobar que la conjugación por un cuaternión unidad de parte real cos t es una rotación de ángulo 2t con el eje de giro en la dirección de la parte imaginaria.

Así, S³ constituye un recubrimiento doble del grupo SO(3) de matrices ortogonales 3x3 de determinante 1; es isomorfo a SU(2), el grupo de matrices 2x2 complejas unitarias y de determinante unidad.

Sea A el conjunto de cuaterniones de la forma a + bi + cj + dk donde a, b, c y d son, o todos enteros o todos racionales con numerador impar y denominador 2. El conjunto A es un anillo y un retículo. Hay 24 cuaterniones unitarios en este anillo y son los vértices de un politopo regular, llamado {3,4,3} en la notación de Schlafli.

Clasificación en el álgebra abstracta[editar]

Un conjunto que posee todas las propiedades de un campo excepto por M_2 se conoce como un anillo con división o un campo asimétrico. La construcción de los cuaternios por Hamilton fue el primer ejemplo de este tipo de estructura. La existencia del inverso multiplicativo de un cuaternión no nulo puede comprobarse de manera semejante a como se realiza para los complejos como sigue. Recordemos que para cualquier número complejo z = a + bi se define su norma como la raíz cuadrada de (a^2 + b^2) y su conjugado como z = a - bi. Tenemos entonces que recordemos que el cuaternio h = a + bI + cJ + dK puede pensarse como la matriz compleja.

Aplicaciones[editar]

Los cuaterniones no son únicamente una curiosidad algebraica. Tienen diversas aplicaciones que van desde la teoría de números, en donde pueden utilizarse para probar resultados como el teorema dado por Lagrange que dice que todo número natural n puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos, hasta aplicaciones físicas dentro del electromagnetismo, teoría de la relatividad y mecánica cuántica, entre otras.

Los cuaterniones en física representan rotaciones en el espacio, véase cuaterniones y rotación en el espacio. Además tienen aplicaciones en el electromagnetismo y la mecánica cuántica.

Los cuaterniones se utilizan a menudo en gráficos por computadora (y en el análisis geométrico asociado) para representar la orientación de un objeto en un espacio tridimensional. Las ventajas son: conforman una representación no singular (comparada con, por ejemplo, los ángulos de Euler), más compacta y más rápida que las matrices.

Historia[editar]

Placa conmemorativa en el puente de Brougham (Broom), Dublín, con el texto:
"Here as he walked by on the 16th of October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplication
i² = j² = k² = ijk = −1"

Los cuaterniones fueron creados por William Rowan Hamilton en 1843. Hamilton buscaba formas de extender los números complejos (que pueden interpretarse como puntos en un plano) a un número mayor de dimensiones. No pudo hacerlo para 3 dimensiones, pero para 4 dimensiones obtuvo los cuaterniones. Según una historia relatada por el propio Hamilton, la solución al problema que le ocupaba le sobrevino un día que estaba paseando con su esposa, bajo la forma de la ecuación: i² = j² = k² = ijk = -1. Inmediatamente, grabó esta expresión en el lateral del puente de Brougham, que estaba muy cerca del lugar.

Hamilton popularizó los cuaterniones con varios libros, el último de los cuales, Elements of Quaternions (en inglés Elementos de Cuaterniones), tenía 800 páginas y fue publicado poco después de su muerte.

Generalizaciones[editar]

Si F es un cuerpo cualquiera y a y b son elementos de F, se puede definir un álgebra asociativa unitaria de cuatro dimensiones sobre F utilizando dos generadores, i y j, y las relaciones i² = a, j² = b e ij = -ji. Estas álgebras, o son isomorfas al álgebra de matrices 2x2 sobre F, o son álgebras de división sobre F, y se denominan álgebras de cuaterniones.

Véase también[editar]

Referencia[editar]

Bibliografía[editar]

  • Hamilton, William Rowan. On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra. Philosophical Magazine. Vol. 25, n 3. p. 489–495. 1844.
  • Hamilton, William Rowan (1853), "Lectures on Quaternions". Royal Irish Academy.
  • Hamilton (1866) Elements of Quaternions University of Dublin Press. Edited by William Edwin Hamilton, son of the deceased author.
  • Hamilton (1899) Elements of Quaternions volume I, (1901) volume II. Edited by Charles Jasper Joly; published by Longmans, Green & Co..
  • Tait, Peter Guthrie (1873), "An elementary treatise on quaternions". 2d ed., Cambridge, [Eng.] : The University Press.
  • Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
  • Maxwell, James Clerk (1873), "A Treatise on Electricity and Magnetism". Clarendon Press, Oxford.
  • Tait, Peter Guthrie (1886), "Quaternion". M.A. Sec. R.S.E. Encyclopaedia Britannica, Ninth Edition, 1886, Vol. XX, pp. 160–164. (bzipped PostScript file)
  • Joly, Charles Jasper (1905), "A manual of quaternions". London, Macmillan and co., limited; New York, The Macmillan company. LCCN 05036137 //r84
  • Macfarlane, Alexander (1906), "Vector analysis and quaternions", 4th ed. 1st thousand. New York, J. Wiley & Sons; [etc., etc.]. LCCN es 16000048
  • 1911 encyclopedia: "Quaternions".
  • Finkelstein, David, Josef M. Jauch, Samuel Schiminovich, and David Speiser (1962), "Foundations of quaternion quantum mechanics". J. Mathematical Phys. 3, pp. 207–220, MathSciNet.
  • Du Val, Patrick (1964), "Homographies, quaternions, and rotations". Oxford, Clarendon Press (Oxford mathematical monographs). LCCN 64056979 //r81
  • Crowe, Michael J. (1967), A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System, University of Notre Dame Press. Surveys the major and minor vector systems of the 19th century (Hamilton, Möbius, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, Macfarlane, MacAuley, Gibbs, Heaviside).
  • Altmann, Simon L. (1986), "Rotations, quaternions, and double groups". Oxford [Oxfordshire] : Clarendon Press ; New York : Oxford University Press. LCCN 85013615 ISBN 0-19-855372-2
  • Altmann, Simon L. (1989), "Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal". Mathematics Magazine. Vol. 62, No. 5. p. 291–308, Dec. 1989.
  • Adler, Stephen L. (1995), "Quaternionic quantum mechanics and quantum fields". New York : Oxford University Press. International series of monographs on physics (Oxford, England) 88. LCCN 94006306 ISBN 0-19-506643-X
  • Trifonov, Vladimir (1995), "A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem", Europhysics Letters, 32 (8) 621–626, DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001
  • Ward, J. P. (1997), "Quaternions and Cayley Numbers: Algebra and Applications", Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4513-4
  • Kantor, I. L. and Solodnikov, A. S. (1989), "Hypercomplex numbers, an elementary introduction to algebras", Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-96980-2
  • Gürlebeck, Klaus and Sprössig, Wolfgang (1997), "Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers". Chichester ; New York : Wiley (Mathematical methods in practice; v. 1). LCCN 98169958 ISBN 0-471-96200-7
  • Kuipers, Jack (2002), "Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality" (reprint edition), Princeton University Press. ISBN 0-691-10298-8
  • Conway, John Horton, and Smith, Derek A. (2003), "On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry", A. K. Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9 (review).
  • Kravchenko, Vladislav (2003), "Applied Quaternionic Analysis", Heldermann Verlag ISBN 3-88538-228-8.
  • Hanson, Andrew J. (2006), "Visualizing Quaternions", Elsevier: Morgan Kaufmann; San Francisco. ISBN 0-12-088400-3
  • Trifonov, Vladimir</ref> (2007), "Natural Geometry of Nonzero Quaternions", International Journal of Theoretical Physics, 46 (2) 251–257, DOI: 10.1007/s10773-006-9234-9
  • Ernst Binz & Sonja Pods (2008) Geometry of Heisenberg Groups American Mathematical Society, Chapter 1: "The Skew Field of Quaternions" (23 pages) ISBN 978-0-8218-4495-3.
  • Vince, John A. (2008), Geometric Algebra for Computer Graphics, Springer, ISBN 978-1-84628-996-5.
  • For molecules that can be regarded as classical rigid bodies molecular dynamics computer simulation employs quaternions. They were first introduced for this purpose by D.J. Evans, (1977), "On the Representation of Orientation Space", Mol. Phys., vol 34, p 317.
  • Zhang, Fuzhen (1997), "Quaternions and Matrices of Quaternions", Linear Algebra and its Applications, Vol. 251, pp. 21--57.

Enlaces externos y monografías[editar]

Software[editar]