Plano (geometría)

Intersección de dos planos en un espacio tridimensional. Representación isométrica de dos planos perpendiculares.

Representación gráfica informal de un plano.

En geometría, un plano es el ente ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta.

Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. .-Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es solo bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies de diferente tipo. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana otras superficies que son regularmente tridimensionales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto exterior a ella.
• Dos rectas paralelas.
• Dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

Propiedades del plano ℝ³

En un espacio euclidiano tridimensional ℝ³, podemos hallar los siguientes hechos, (los cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores).

• Dos planos o son paralelos o se intersecan en una línea.
• Una línea es paralela a un plano o interseca al mismo en un punto o es contenida por el plano mismo.
• Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente paralelas entre sí.
• Dos planos perpendiculares a una misma línea son necesariamente paralelos entre sí.
• Entre un plano Π cualquiera y una línea no perpendicular al mismo existe solo un plano tal que contiene a la línea y es perpendicular al plano Π.
• Entre un plano Π cualquiera y una línea perpendicular al mismo existe un número infinito de planos tal que contienen a la línea y son perpendiculares al plano Π.

Ecuación del plano

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores

Punto P = (x₁, y₁, z₁)
Vector u = (a₁, b₁, c₁)
Vector v = (a₂, b₂, c₂)

$(x,y,z)= (x_1, y_1 ,z_1)+ m(a_1, b_1 ,c_1) +n(a_2, b_2 ,c_2) \,\!$

Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:

$\begin{vmatrix}(\mathbf{X}-\mathbf{P})\\ \mathbf{u} \\ \mathbf{v}\end{vmatrix}=0 => \begin{vmatrix}x-P_x & y-P_y & z-P_z\\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z\end{vmatrix}=0 => A x +B y +C z + D =0$

Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. la fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:

$a(x-h)+b(y-k)+c(z-j)=0 \,$

Posición relativa entre dos planos

Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.

Sus posiciones relativas pueden ser:

• Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2.
• Planos paralelos: si tienen la misma direción los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2.
• Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.

Distancia de un punto a un plano

Para un plano cualquiera $\Pi : a x + b y + c z + d = 0\,$ y un punto cualquiera $\bold p_1 = (x_1,y_1,z_1)$ no necesariamente contenido en dicho plano Π, la menor distancia entre P₁ y el plano Π es:

$D = \frac{\left | a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$

De lo anterior se deduce que el punto P₁ pertenecerá al plano Π si y solo si D=0.

Si los coeficientes a, b y c de la ecuación canónica de un plano cualquiera están normalizados, esto es cuando $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1$, entonces la fórmula anterior de la distancia D se reduce a:

$D = \ | a x_1 + b y_1 + c z_1+d | .$

Semiplano

Se llama semiplano, en geometría, a cada una de las dos partes en que un plano queda dividido por una recta.

Postulados de la división de un plano

En cada pareja de semiplanos que una recta r determina sobre un plano, existen infinitos puntos tales que:

1. Todo punto del plano pertenece a uno de los dos semiplanos, o a la recta que los determina.
2. Dos puntos del mismo semiplano, determinan un segmento que no corta a la recta r.
3. Dos puntos de semiplanos diferentes, determinan un segmento que corta a la recta r. Ésta, la recta, es un conjunto de infinitos puntos alineados, sin principio ni fin.

Véase también

• Geometría plana
• Espacio euclídeo
• Recta
• Punto

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Plano» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.