Bicondicional

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↔ ⇔ ≡

Símbolos lógicos
que representan si y solo si.

En matemáticas y lógica, un bicondicional, (también llamado equivalencia o doble implicación, en ocasiones abreviado como ssi, sii, o syss), es una proposición de la forma «P si y solo si Q» y afirma que la proposición P será verdadera cuando y exclusivamente Q también lo sea, así como también P será falsa cuando Q lo sea. Otra forma de expresar el bicondicional es decir que Q es una condición necesaria y suficiente para P.

Definición[editar]

El valor de verdad de un bicondicional «p si y solo si q» es verdadero cuando ambas proposiciones (p y q) tienen el mismo valor de verdad, es decir, ambas son verdaderas o falsas simultáneamente; de lo contrario, es falso.

Se tiene así que la afirmación «p si y solo si q» es lógicamente equivalente al par de afirmaciones «Si p, entonces q», y «si q, entonces p». Escrito utilizando conectivas lógicas :

 p \leftrightarrow q  \equiv  (p\to q) \wedge (q\to p).

De manera más precisa, el operador bicondicional está definido mediante la siguiente tabla de verdad:[1] [2] 98

si y solo si
p q
pq
V V V
V F F
F V F
F F V

Representación y lectura[editar]

Normalmente se usan los símbolos ⇔ o ↔ para denotar el bicondicional, quedando así:

P\leftrightarrow Q o P \Leftrightarrow Q.

En español se usan las abreviaturas sii, ssi y syss, de modo que es equivalente p ↔ q a “p sii q”. En inglés se abrevia iff (If and only if).

Dos enunciados se dicen equivalentes cuando tienen el mismo valor de verdad, y se simboliza con ≡.[3] Este símbolo también puede leerse "es equivalente a". Cuando dos proposiciones son lógicamente equivalentes su conexión con un bicondicional una tautología.[4]

Adicionalmente, el bicondicional es equivalente a la puerta lógica XNOR, y a la negación de la puerta XOR.

Uso[editar]

En la matemática, toda definición de un objeto expresa la condición necesaria y suficiente para plantear la definición de tal objeto; que es lo mismo que expresar de manera tácita a través de un bicondicional. Sin embargo, es usual en una definición usar simplemente una forma implicativa. Verbi gratia: "si un triángulo tiene dos lados iguales o congruentes se llama isósceles".[5]

Referencías[editar]

  1. Trelles Montero, Oscar; Rosales Papa, Diógenes (2000). «Bicondicional». Introducción a la Lógica. Perú: Fondo Editorial PUCP. pp. 68 y siguientes. ISBN 9972-42-182-1. 
  2. Korfhage, Robert R.: "Lógica y Algoritmos", (1970) Editorial Limusa -Wiley, S.A. México 1, D.F. p. 60
  3. Copi, Irving M.: "Lógica Simbólica" (2000)ISBN: 968-26-0134-7, Cecsa. México D.F., décima novena reimpresión p. 45
  4. Russell, Bertrand y Whitehead, Alfred North : Principia Mathematica (Hasta el *56) (1981) Paraninfo S. A., Madrid, p.60
  5. Geometría Moderna ( 1970) .Dolciani et al