Disyunción lógica

Compuerta lógica «O».

En matemáticas, una disyunción lógica, comúnmente conocida como O, o bien como $\or$, es un operador lógico que resulta verdadero si cualquiera de los operadores es también verídico. El símbolo $\or$ es la inicial de la conjunción adversativa latina vel, que significa «o», «o bien».

Definición

Dado un conjunto universal U y una operación binaria interna disyunción $\lor$, que representaremos $(U, \lor )$:

$\begin{array}{rccl} \lor : & \; U \times U & \to & U \\ & (a,b) & \to & c = a \lor b \end{array}$

por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U.

$\forall (a,b) \in U \times U \, : \quad \exists ! c \in U \; / \quad c = a \lor b$

Para todo par ordenado (a,b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la disyunción lógica a y b.

Para dos entradas a y b, la tabla de la verdad de la función disyuntiva es también la disyunción $\lor$, cuando hay dos elementos en dos conjuntos que integran una proposición. La tabla de la verdad es:

$\begin{array}{|c|c||c|} \hline a & b & a \lor b \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \hline \end{array}$

$V \;$: verdadero

$F \;$: falso

Más generalmente, la disyunción es una fórmula lógica que puede consistir en una o más literales separadas mediante o. Si existe una sola literal se le considera disyunción degenerada.

Símbolo

En la literatura especializada varía el símbolo matemático de la disyunción lógica. Además de utilizar o, comúnmente se usa el símbolo en forma de v (V). Por ejemplo: a ∨ b significa a o b.

Todas las expresiones siguientes son disyunciones:

a ∨ b

¬a ∨ b

a ∨ ¬b ∨ ¬c ∨ d ∨ ¬e

La noción equivalente en teoría de conjuntos es la unión de conjuntos.

Propiedades

La disyunción lógica presenta las siguientes propiedades:

• 1. La ley asociativa:

$\forall a, b, c \in U  : \; (a \lor b) \lor c = a \lor (b \lor c)$

• 2. Existencia del elemento neutro:

$\forall a \in U  : \; a \lor F = a$

• 3. La ley conmutativa:

$\forall a, b \in U  : \; a \lor b = b \lor a$

• 4. Ley distributiva de la conjunción respecto al disyunción:

$\forall a, b, c \in U  : \; a \lor (b \land c) = (a \lor b) \land (a \lor c)$

• 5. Existe elemento complementario:

$\forall a \in U  ; \; \exists \lnot{a} \in U  : \; a \lor \lnot{a} = V$

Operación con bits

A menudo se utiliza la disyunción en operaciones con bits. Por ejemplo:

• Cero o cero:

$0 \or 0 = 0 \quad \longleftrightarrow \quad \begin{array}{cc} & 0 \\ \or & 0 \\ \hline & 0 \\ \end{array}$

• Cero o uno:

$0 \or 1 = 1 \quad \longleftrightarrow \quad \begin{array}{cc} & 0 \\ \or & 1 \\ \hline & 1 \\ \end{array}$

• Uno o cero:

$1 \or 0 = 1 \quad \longleftrightarrow \quad \begin{array}{cc} & 1 \\ \or & 0 \\ \hline & 1 \\ \end{array}$

• Uno o uno:

$1 \or 1 = 1 \quad \longleftrightarrow \quad \begin{array}{cc} & 1 \\ \or & 1 \\ \hline & 1 \\ \end{array}$

• Para cuatro bits:

$1010 \or 1100 = 1110 \quad \longleftrightarrow \quad \begin{array}{ccccc} & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \or & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array}$

Nótese que en ciencias computacionales el operador se puede utilizar o para llevar un bit a 1 aplicando una operación o entre el bit y un 1.

Unión

En términos de la disyunción lógica, la unión utilizada en teoría de conjuntos se define así: x ∈ A ∪ B si –sólo si– (x ∈ A) ∨ (x ∈ B). Debido a esta condición la disyunción lógica satisface muchas de las identidades que se verifican mediante la unión de la teoría de conjuntos, tales como asociatividad, conmutatividad, distributividad y las leyes de De Morgan.

Nota

Como condición necesaria a la definición de x + y, siguiendo una analogía muy similar a la empleada en matemáticas ordinarias, Boole estableció que x e y fuesen mutuamente exclusivas. Jevons, y prácticamente todos los matemáticos lógicos sucesivos, abogaron, en varias disciplinas, por una definición de «adición lógica» de tal modo que no requiera exclusividad mutua.

Véase también

• Álgebra booleana
• Lógica proposicional
• XOR (O exclusivo), puerta lógica.
• Conjunción lógica
• Operador a nivel de bits

Enlaces externos

• Lógica de enunciados