Disyunción exclusiva

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Venn0110.svg
Diagrama de Venn para ~A \oplus B

OR ~\oplus~ AND ~\Leftrightarrow~ XOR

Venn 0110 1001.svg
Diagrama de Venn para ~A \oplus B \oplus C

Venn 0110 0110.svg ~\oplus~ Venn 0000 1111.svg ~\Leftrightarrow~ Venn 0110 1001.svg

El operador lógico Disyunción exclusiva también llamado o exclusivo, simbolizado como XOR, EOR, EXOR, o es un tipo de disyunción lógica de dos operandos que es verdad si solo un operando es verdad pero no ambos.

Equivalencias, simplificación, e introducción[editar]

La disyunción exclusiva p \oplus q puede ser expresada en términos de conjunción lógica (\wedge), disyunción lógica (\lor), y negación (\lnot) de la siguiente manera:


   \begin{matrix}
      p \oplus q & = & (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)
   \end{matrix}

La disyunción exclusiva p \oplus q puede ser expresada de la siguiente manera:


   \begin{matrix}
      p \oplus q & = & \lnot (p \land q) \land (p \lor q)
   \end{matrix}

Esta representación del XOR puede resultar útil en la construcción de un circuito o una red, ya que sólo tiene un operador \lnot y un número reducido de operadores \wedge y \lor. La prueba de esta identidad es la siguiente:


   \begin{matrix}
      p \oplus q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\
                 & = & ((p \land \lnot q) \lor \lnot p) & \and & ((p \land \lnot q) \lor q) \\
                 & = & ((p \lor \lnot p) \land (\lnot q \lor \lnot p)) & \land & ((p \lor q) \land (\lnot q \lor q)) \\
                 & = & (\lnot p \lor \lnot q) & \land & (p \lor q) \\
                 & = & \lnot (p \land q) & \land & (p \lor q)
   \end{matrix}

A veces es útil escribir p \oplus q de las siguientes formas:


   \begin{matrix}
      p \oplus q & = & \lnot ((p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q))
   \end{matrix}

Esta equivalencia se puede establecer mediante la aplicación de las Leyes de De Morgan dos veces para la cuarta línea de la prueba anterior.

Véase también[editar]