Involución (matemática)

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Una involución es una función del tipo: f:X\to X que aplicada dos veces regresa al dato inicial.

En matemática, una involución o función involutiva es una función matemática que es su propia inversa:

Definida la función:


   \begin{array}{rrcl}
      f : & A & \to & A \\
          & x & \to & y = f(x)
   \end{array}

Esta función cumple la propiedad involutiva si:


   \forall x \in A
   : \quad
   f(f(x)) = x

para todo x de A, se cumple que la función de la función de x es x.

O, de otra manera:

 f(x) = y \,  ;
 f(y) = x \,

Propiedades[editar]

Toda involución es una aplicación biyectiva. La función identidad es un ejemplo trivial de involución:


   \begin{array}{rrcl}
      \mathrm{id} : & A & \to & A \\
           & a & \to & b = \mathrm{id}(a) \quad \equiv \quad b=a
   \end{array}

esto es:


   \forall a \in A
   : \quad
   \mathrm{id}(\mathrm{id}(a)) = a

para todo a de A, se cunple que la identidad de la identidad de a es a.

El número de involuciones existentes en un conjunto de n elementos viene dado por la siguiente relación de recurrencia:

a_0 = a_1 = 1 \,
a_{n} = a_{n-1} + (n - 1)\, a_{n-2} \quad (si \quad n > 1)

Los primeros términos de esta secuencia son 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, etc.[1]

Ejemplos[editar]

Ejemplos sencillos son la multiplicación por −1 un número real:


   \begin{array}{rrcl}
      f : & \R & \to & \R \\
          & x & \to & y = -x
   \end{array}

dado que:


   \forall x \in \R
   : \quad
   -(-x)= x

Para todo x número real, se cumple que el opuesto del opuesto de x es x.

El inverso multiplicativo de números reales sin el cero;


   \begin{array}{rrcl}
      f : & \R^* & \to & \R^* \\
          & x & \to & y = \cfrac{1}{x}
   \end{array}

si vemos que:


   \forall x \in \R^* = \R \setminus \{ 0 \}
   : \quad
   \cfrac{1}{\cfrac{1}{x}}= x

El complemento de un conjunto en teoría de conjuntos:


   \begin{array}{rrcl}
      {}^c : & \mathbb{U} & \to & \mathbb{U} \\
             & A          & \to & B = A^c
   \end{array}

dado que:


   \forall A \in \mathbb{U}
   : \quad
   {(A^c)}^c= A

Los complejos conjugados (\bar{z}) en variable compleja; la inversión geométrica; y cifrados como el ROT13 y el de Trithemius.

Véase también[editar]

Fuentes y referencias[editar]

  • Todd A. Ell; Stephen J. Sangwine (2007), «Quaternion involutions and anti-involutions», Computers & Mathematics with Applications 53 (1): 137–143, doi:10.1016/j.camwa.2006.10.029 .