Conectiva lógica

En lógica, una conectiva lógica, o simplemente conectiva, es un símbolo que se utiliza para conectar dos fórmulas, de modo que el valor de verdad de la fórmula compuesta dependa del valor de verdad de las fórmulas componentes.

En programación se utilizan para combinar valores de verdad y obtener nuevos valores que determinen el flujo de control de un algoritmo o programa.

Las conectivas lógicas son, junto con los cuantificadores, las principales constantes lógicas de muchos sistemas lógicos, principalmente la lógica proposicional y la lógica de predicados.

Conectivas

Las conectivas son funciones de verdad. Quiere decir que son funciones que toman uno o dos valores de verdad, y devuelven un único valor de verdad. En consecuencia, cada conectiva lógica puede ser definida mediante una tabla de valores de verdad que indique qué valor devuelve la conectiva para cada combinación de valores de verdad. A continuación hay una tabla con las conectivas más usuales y su definición mediante tablas de verdad:

Conectiva	Notación	Ejemplo de uso	Análogo natural	Ejemplo de uso en el lenguaje natural	Tabla de verdad
Negación	$\neg,\sim \,$	$\neg p \,$	no	No está lloviendo.	$\begin{array}{c||c} \phi & \neg \phi \\ \hline 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}$
Conjunción	$\and,\And, \cdot \,$	$p \and q \,$	y	Está lloviendo y es de noche.	$\begin{array}{c|c||c} \phi & \psi & \phi \and \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$
Disyunción	$\or \,$	$p \or q \,$	o	Está lloviendo o es de noche.	$\begin{array}{c|c||c} \phi & \psi & \phi \or \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$
Condicional material	$\to,\supset$	$p \to q \,$	si... entonces	Si está lloviendo, entonces es de noche.	$\begin{array}{c|c||c} \phi & \psi & \phi \to \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}$
Bicondicional	$\leftrightarrow, \equiv \,$	$p \leftrightarrow q \,$	si y sólo si	Está lloviendo si y sólo si es de noche.	$\begin{array}{c|c||c} \phi & \psi & \phi \leftrightarrow \psi \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}$
Negación conjunta	$\downarrow \,$	$p \downarrow q \,$	ni... ni	Ni está lloviendo ni es de noche.	$\begin{array}{c|c||c} \phi & \psi & \phi \downarrow \psi \\ \hline 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}$
Disyunción excluyente	$\nleftrightarrow, \oplus, \not\equiv, W$	$p \nleftrightarrow q \,$	o bien... o bien	O bien está lloviendo, o bien es de noche.	$\begin{array}{c|c||c} \phi & \psi & \phi \nleftrightarrow \psi \\ \hline 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$

Las conectivas por la tabla de verdad

Dado que las conectivas son funciones de verdad, existirán tantas conectivas como funciones de verdad. Sin embargo, no todas las funciones de verdad tienen análogos en el lenguaje natural, y en consecuencia, no todas son estudiadas con el mismo interés. A continuación se incluye una tabla que lista las 16 conectivas binarias posibles.

$\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline \phi & \psi & \top & \or & \leftarrow & \phi & \to & \psi & \leftrightarrow & \and & \uparrow & \nleftrightarrow & \neg \psi & \nrightarrow & \neg \phi & \nleftarrow & \downarrow & \bot \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$

Donde:

1.	$\top$	Tautología
2.	$\phi\or\psi$	Disyunción lógica
3.	$\phi\leftarrow\psi$	Condicional material inverso
4.	$\phi$	Proposición
5.	$\phi\to\psi$	Condicional material
6.	$\psi$	Proposición
7.	$\phi\leftrightarrow\psi$	Bicondicional
8.	$\phi\and\psi$	Conjunción lógica
9.	$\phi\uparrow\psi$	Negación alternativa
10.	$\phi\nleftrightarrow\psi$	Disyunción exclusiva
11.	$\neg\psi$	Negación lógica
12.	$\phi\nrightarrow\psi$	Negación del condicional material
13.	$\neg\phi$	Negación lógica
14.	$\phi\nleftarrow\psi$	Negación del condicional inverso
15.	$\phi\downarrow\psi$	Negación conjunta
16.	$\bot$	Contradicción

Conectivas por el número de argumentos

Si vemos las distintas conectivas por su número de argumentos podemos distinguir:

Sin argumentos

Las conectivas lógicas sin argumentos son:

Positiva	Negativa
$\top$ Tautología	$\bot$ Contradicción

Con un argumento

Las conectivas con solo un argumento son:

Positiva	Negativa
$\phi$ Proposición	$\neg\phi$ Negación lógica

Con dos argumentos

Las conectivas que necesitan dos argumentos son:

Positiva	Negativa
$\phi\or\psi$ Disyunción lógica	$\phi\downarrow\psi$ Negación conjunta
$\phi\and\psi$ Conjunción lógica	$\phi\uparrow\psi$ Negación alternativa
$\phi\to\psi$ Condicional material	$\phi\nrightarrow\psi$ Negación del condicional material
$\phi\leftarrow\psi$ Condicional material inverso	$\phi\nleftarrow\psi$ Negación del condicional inverso
$\phi\leftrightarrow\psi$ Bicondicional	$\phi\nleftrightarrow\psi$ Disyunción exclusiva

Véase también

• Cálculo
• Cálculo lógico
• Función de verdad
• Lógica proposicional
• Lógica de primer orden
• Lógica de segundo orden
• Puerta lógica
• Tabla de valores de verdad