Recta

Representación de un segmento de recta.

Tres líneas rectas — Las líneas roja y azul poseen la misma pendiente (m) que en este ejemplo es ½, mientras que las líneas roja y verde interceptan al eje y en el mismo punto, por lo que poseen idéntico valor de ordenada al origen (b) que en este ejemplo es el punto x=0, y=1.

En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta

Euclides, en su tratado denominado Los Elementos, establece varias definiciones relacionadas con la línea y la línea recta:

• Una línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2).
• Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3).
• Una línea recta se denomina una linea formada por una sección de puntos infinitos y no tiene principio ni fin

Características de la recta

Haz de rayos.

• La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.
• En geometría euclidiana, la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.
• La recta puede definirse como el conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

Rayo

Se le llama rayo o semirrecta a cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al ser cortada en cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta, denominado origen, a partir del cual se extiende indefinidamente en una sola dirección.

Ecuación de la recta

En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.

Pendiente y ordenada al origen

En una recta, la pendiente $m\,$ es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación: $m = \left( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right)$

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

$y - y_1 = m (x - x_1)\!$

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente $m$ es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X.

La ecuación de la recta que pasa por el punto $P_1 = (x_1, y_1) \,$ y tiene la pendiente dada $m$ es:

$y - y_1 = m (x - x_1)\,$

Ejemplo

La ecuación de la recta que pasa por el punto A $(2, -4)$ y que tiene una pendiente de $-\frac{1}{3}$.

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

$y - y_1 = m (x - x_1)\!$ $y - ( - 4) = - 1/3 (x - 2)\!$ $3 (y + 4) = - 1(x - 2)\!$ $3y + 12 = - x + 2\!$ $x + 3y + 12 = 2\!$ $x + 3y + 10 = 0\!$

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente M, y el punto donde la recta corta al eje de coordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, $y - y_1 = m (x - x_1)$:

$y - b = m (x - 0)\!$ $y - b = m x \!$ $y = m x + b \!$

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos $b$. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)

Así como a la ordenada al origen se le puede llamar $b$, a la abscisa al origen se le puede llamar $a$. Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos $a$ y $b$ (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:

$(0, b)\!$ y $(a, 0)\!$

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

$m = \left( \frac{0 - b}{a - 0} \right) = \frac{-b}{a}$

Después se sustituye en la ecuación $y - y_1 = m (x - x_1)$, usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):

$ay = - bx + ab\!$

$bx + ay = ab\!$

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente $ab$:

$\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = \frac{ab}{ab}\!$

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \!$

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.

Ecuación normal de la recta (Primera forma; Ecuación de Hesse)

Ludwig Otto Hesse (1811-1874, matemático alemán, profesor en la Universidad de Heidelberg y en la Universidad Técnica de Múnich.)

Esta es la forma normal de la recta:

$x \ cos\omega + y \ sen\omega - d = 0 \!$

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas.

Donde x que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.

$Ax + By + C = 0 \!$

Extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de B X A. Como sigue:

$x = \sqrt{A^2 + B^2}$

Con el número x podemos obtener a $cos\omega$ y a $sen\omega$ de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular d dividimos a C entre k.

Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kd, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.

Ecuación normal de la recta (Segunda forma)

$\frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2 + B^2}}=0$

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

Rectas notables

Rectas perpendiculares.

• La ecuación de una recta vertical, tal como la v, responde a la ecuación general $x = x_v$ (constante).

• La ecuación de una recta horizontal, tal como la h, responde a la ecuación general $y = y_h$ (constante).

• Una recta trigonoidal, tal como la s, que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición n = 0, siendo su ecuación: $y = (m)(x)\;$.

• Dos rectas cualesquiera:

$y = \left( m_1 \right)\left( x \right)+ n_1 \!$

$y = \left( m_2 \right)\left( x \right)+ n_2 \!$

serán paralelas si y solo si $m_1 = m_2\;$. Además, serán coincidentes cuando: $n_1 = n_2\;$

serán perpendiculares si y sólo si $m_1 = -1/ m_2\;$, es decir: $(m_1)(m_2) = -1 \;$

Rectas que pasan por un punto

Determinar las rectas del plano que pasan por el punto $(x_0, y_0) \,$.

La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:

$y = m x + b \,$

Y ha de pasar por el punto $(x_0, y_0) \,$, luego tendrá que cumplirse:

$y_0 = m x_0 + b \,$

Despejando b, tenemos esta ecuación:

$b= y_0 - m x_0 \,$

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

$y = m x + (y_0 - m x_0) \,$

Ordenando términos:

$y = m (x- x_0) + y_0 \,$

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto $(x_0, y_0)$, el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.

Recta que pasa por dos puntos

Si ha de pasar por dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ luego tendrá que cumplirse:

$y_{1} = m x_{1} + b \,$

$y_{2} = m x_{2} + b \,$

Ambas forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas m y b, para resolver este sistema, eliminamos una de las incognitas b restando m.a.m la segunda ecuación de la primera para obtener:

$y_1 - y_2 = m x_1 - m x_2 \,$

agrupando términos:

$y_1 - y_2 = m (x_1 - x_2) \,$

despejando m:

$m= \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \,$

este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos: $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$. Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:

$b = y_1 - m x_1 \,$

y sustituyendo m, por su valor ya calculado;

$b = y_1 - \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; x_1 \,$

Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, entonces la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:

$y = \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; x + y_1 - \cfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \; x_1 \,$

Ecuación general de la recta

Es la expresión Ax + By + C = 0 , donde A y B no pueden valer cero simultáneamente.

-A/B representa la pendiente y -C/B señala la ordenada en el origen. Datos suficientes para representar la ecuación en el plano cartesiano XOY.

Familia de rectas

Sea y = 2x + 1, la ecuación de una recta. Pendiente, 2; y la ordenada en el origen es 1. Pero se podría hacer que varíe la ordenada en el origen y se escribe y = 2x + k; en estas condiciones k se llama parámetro, y la ecuación y = 2x + k describe una familia de rectas con pendiente 2 y la unión de la familia es el plano cartesiano .

Véase también

• Punto
• Segmento
• Plano
• Recta numérica

Enlaces externos

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Wikcionario tiene definiciones para recta.Wikcionario
• Weisstein, Eric W. «Line» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• La Recta (Español)