Recta

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Representación de un segmento de recta.

En geometría euclidiana, la recta o la línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

En geometría analítica las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta[editar]

Euclides, en su tratado denominado Los Elementos,[1] establece varias definiciones relacionadas con la línea y la línea recta:

  • Una línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2).
  • Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3).
  • Una línea recta se denomina una línea formada por una sección de puntos infinitos y no tiene principio ni fin

Características de la recta[editar]

  • La recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.
  • En geometría euclidiana, la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.
  • La recta puede definirse como el conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

Semirrecta[editar]

Haz de rayos.

Se le llama semirrecta[nota 1] a cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al ser cortada en cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta, denominado origen, a partir del cual se extiende indefinidamente en una sola dirección.

Ecuación de la recta en el plano[editar]

Tres líneas rectas — Las líneas roja y azul poseen la misma pendiente (m) que en este ejemplo es ½, mientras que las líneas roja y verde interceptan al eje y en el mismo punto, por lo que poseen idéntico valor de ordenada al origen (b) que en este ejemplo es el punto x=0, y=1.

En un plano cartesiano, podemos representar una recta mediante una ecuación general definida en dicho plano ya sea mediante coordenadas usando puntos y vectores, o bien funciones que especifican dichas coordenadas.

Pendiente y ordenada al origen[editar]

Dada una recta mediante un punto,P = (x_0, y_0) \,, y una pendiente m\,:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

y - y_0 = m (x - x_0)\!

donde m es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X.

Ejemplo[editar]

La ecuación de la recta que pasa por el punto A=(2, -4) y que tiene una pendiente de m=-\frac{1}{3}:

x + 3y + 10 = 0\!
Demostración

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

y - y_1 = m (x - x_1)\!

y - ( - 4) = - 1/3 (x - 2)\!

3 (y + 4) = - 1(x - 2)\!

3y + 12 = - x + 2\!

x + 3y + 12 = 2\!

x + 3y + 10 = 0\!


Forma simplificada de la ecuación de la recta[editar]

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y - y_1 = m (x - x_1):

y - b = m (x - 0)\!

y - b = m x \!

y = m x + b \!

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b.

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)[editar]

Recta que corta el eje ordenado en b y la abscisa en a.

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \!.
Demostración

Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:

 (0, b)\! y (a, 0)\!

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

m = \left( \frac{0 - b}{a - 0} \right) = \frac{-b}{a}

Después se sustituye en la ecuación y - y_1 = m (x - x_1), usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):

 ay = - bx + ab\!

 bx + ay = ab\!

y dividinedo toda la ecuación entre el término independiente ab:

\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = \frac{ab}{ab}\!

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \!

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.

Ecuación general de la recta[editar]

Es la expresión Ax + By + C = 0 [10] , -A/B representa la pendiente y -C/B señala la ordenada en el origen en el caso de B diferente de cero. Datos suficientes para representar cualquier recta en el plano cartesiano XOY.

Ecuación normal de la recta (Primera forma)[editar]

La forma normal de la recta (Ecuación de Hesse):

x \ cos\omega + y \ sen\omega - d = 0 \!

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas.

Demostración

Para obtener dicha ecuación a partir de una ecuación de la forma Ax + By + C = 0 \!, primero se ha de calcular:

\lambda = \sqrt{A^2 + B^2}

al dividir los parámetros de la ecuación por \lambda se obtiene que cos\omega=\frac{A}{\lambda} y sen\omega=\frac{B}{\lambda}. Finalmente  -d=\frac{C}{\lambda} sin excepción.[11]

Ecuación normal de la recta (Segunda forma)[editar]

\frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2 + B^2}}=0

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

Rectas que pasan por un punto[editar]

Rectas que pasan por el punto: (2,4)

Para determinar las rectas del plano que pasan por el punto P=(x_0, y_0) \, se usa la ecuación

y = m (x- x_0) + y_0 \, donde m toma cualquier valor real.
Demostración

La ecuación de la recta ha de ser:

y = m x + b \,

Y ha de pasar por el punto (x_0, y_0) \,, luego tendrá que cumplirse:

y_0 = m x_0 + b \,

Despejando b, tenemos esta ecuación:

 b= y_0 - m x_0 \,

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

y = m x + (y_0 - m x_0) \,

Ordenando términos:

y = m (x- x_0) + y_0 \,

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto  (x_0, y_0) , el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz a excepción de la recta vertical por dicho punto.

Recta que pasa por dos puntos[editar]

Si pasa por dos puntos  (x_1, y_1) y  (x_2, y_2) , la ecuación de la recta puede expresarse como:


   y =
   \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \; (x - x_1) + y_1
Demostración

Han de cumplir la fórmula general  y = m x + b \, , resultando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas m y b:

 y_{1} = m x_{1} + b \,
 y_{2} = m x_{2} + b \,

eliminamos la incógnita b, despejando en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda:

b = y_1 - m x_1  \,
y_2 = m x_2 + (y_1 - m x_1) \,

agrupando términos:

y_2 - y_1 = m (x_2 - x_1) \,

despejando m:

m= \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \,

este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos:  (x_1, y_1) y  (x_2, y_2) . Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:

b = y_1 - m x_1 \,

y sustituyendo m, por su valor ya calculado;

b = y_1 - \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \; x_1 \,

Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, entonces la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:


   y =
   \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \; x + y_1 - \cfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \; x_1

Rectas notables[editar]

Rectas perpendiculares.
  • La ecuación de una recta vertical responde a la ecuación general x = x_v (constante).
  • La ecuación de una recta horizontal responde a la ecuación general y = y_h (constante).
  • Una recta trigonoidal que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición b = 0, siendo su ecuación: y = (m)(x)\;.
  • Dos rectas cualesquiera:
 y = \left( m_1 \right)\left( x \right)+ b_1 \!
 y = \left( m_2 \right)\left( x \right)+ b_2 \!
serán paralelas si y solo si m_1 = m_2\;. Además, serán coincidentes cuando: b_1 = b_2\;
serán perpendiculares si y sólo si m_1 = -1/ m_2\;, es decir: (m_1)(m_2) = -1 \;

Rectas en el plano como espacio vectorial y afín[editar]

Mediante dos puntos del plano afín[editar]

Dado dos puntos en el plano, P y Q, sobre una recta, se puede describir cada punto de ésta es decir toda la recta mediante la ecuación:

 P + \lambda \vec{ PQ } donde  \lambda puede tomar cualquier valor.
Ejemplo[editar]

Dados P=(1,2) y Q=(3,5), entonces la recta son los puntos (x,y) tales que x=1+\lambda(3-1) y y=2+\lambda(5-2).

Mediante un punto y un vector[editar]

Dado un punto y un vector en el plano, P y \vec{v}, queda totalmente definida una recta mediante la ecuación:

 P + \lambda \vec{v} donde  \lambda puede tomar cualquier valor.
Ejemplo[editar]

Dados P=(5,-2) y  \vec{v}= (3,1) (llamado vector director), entonces la recta son los puntos (x,y) tales que x=5+\lambda(3) y  y = -2 +\lambda(1).

Rectas notables[editar]

  • La ecuación de una recta vertical poseería un vector director del tipo \vec{v}=(0,1).
  • La ecuación de una recta horizontal poseería un vector director del tipo \vec{v}=(1,0).
  • Una recta por el origen, es una recta que pasa por el origen de coordenadas con P=(0, 0)\in r.
  • Dadas dos rectas cualesquiera
 P + \lambda_1 \vec{v}
 Q + \lambda_2 \vec{w}
serán paralelas si y solo si \vec{v}=\alpha \vec{w}.
serán perpendiculares si y sólo si \vec{v} y  \vec{w} son perpendiculares, es decir su producto escalar es cero.

Rectas como producto escalar[editar]

Toda recta ya sea de forma implicita, explicita o vectorial se puede expresar como producto escalar de vectores:

(x,y)= (b_x,b_y)+ \lambda (u_x,u_y) \Leftrightarrow \lambda = \frac{x-b_x}{u_x} \;\;\;\;y \;\;\;\; \lambda = \frac{y-b_y}{u_y} \Leftrightarrow  \frac{x-b_x}{u_x} = \frac{y-b_y}{u_y} \Leftrightarrow  \frac{x}{u_x}+\frac{-y}{u_y}=\frac{b_x}{u_x}+\frac{-b_y}{u_y} \Leftrightarrow  (x,y)\cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{u_x}\\ \frac{-1}{u_y} \end{pmatrix} = \frac{b_x}{u_x}+\frac{-b_y}{u_y}

es decir, renombrando las constantes:

 (x,y)\cdot \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix} = c
  • Si (x,y)\perp(a,b) \Rightarrow c=0 por tanto el vector  (a,b) es perpendicular a la recta  ax+by=0 y a sus vectores directores, y por tanto a todas sus paralelas.

Ecuación de la recta en el espacio[editar]

Recta determinada mediante un sistema de ecuaciones[editar]

Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables

Recta en el espacio usando un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas:


   \left \{
      \begin{matrix}
          x & + y &+ z& = 4 \\
         x & - y &+ 3z& = 7
      \end{matrix}
   \right .
  • Esta ecuación equivale a la intersección de dos planos en el espacio.

Recta determinada mediante vectores[editar]

Recta en el espacio usando un punto, p=(p_x,p_y,p_z), y un vector, u=(u_x,u_y,u_z):

(x,y,z)=(p_x,p_y,p_z)+\lambda (u_x,u_y,u_z)
  • Al vector u\, se le llama vector director.

Posiciones relativas entre rectas[editar]

  • Dos rectas serán paralelas si tiene vectores directores paralelos.
  • Dos rectas se intersecan si no son paralelas y tienen un punto en común.
  • Dos rectas se cruzan[nota 2] si no son paralelas ni tienen puntos comunes.

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Tambie se usa rayo el cual es un posible anglicismo de ray[2] en Hispanoamérica. En algunos textos es mencionado como rayo o semirrecta[3] pero predomina el uso de semirrecta en abundante bibliografía[4] [5] [6] [7] [8] [9] que no recogen otra alternativa.
  2. Tambie se dice rectas alabeadas el cual es un posible anglicismo en Hispanoamérica[3] pero predomina el uso de cruce de rectas en abundante bibliografía[12] [5] hay quien recoge la alternativa no deseada de rectas oblicuas.[13]

Referencias[editar]

  1. www.euclides.org: Los Elementos [1]
  2. Weisstein, Eric W. «Ray» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
  3. a b «Pequeña enciclopedia de matemáticas». una traducción del aleman (Pagoulatos). 1981. 
  4. «semirrecta», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia Española, 2001, http://lema.rae.es/drae/?val=semirrecta 
  5. a b Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0. 
  6. Diccionario de matematicas. Akal Editores. 1979. 
  7. Docta guia educativa. Carroggio,s.a. 
  8. Enciclopedia didáctica de matemáticas. Oceano. 
  9. Léxico de matemáticas. Akal Editores. 
  10. Geometría Analítica ( 1980) Charles Lehmann; Editorial Limusa, ISBN 968-18-176-3; pg. 65
  11. Wooton, William. Geometría Analítica Moderna. México 1979. P.p. 90
  12. «cruzar», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia Española, 2001, http://lema.rae.es/drae/?val=cruzar 
  13. Geometría(traducción). Thomson Editores Internacional. 

Enlaces externos[editar]