Perpendicularidad
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Una figura es perpendicular a otra cuando al cortarla, determina todas sus secciones ( en el plano que las contiene, según los casos) un ángulo recto. Esto se da en:
- Rectas: cuando dos rectas se cortan (estando así en el mismo plano), originan no sólo uno, sino cuatro ángulos rectos. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.
- Semirrectas: dos semirrectas con el mismo punto de origen originan un ángulo de 90 grados (o sea, recto) y otro de 270°, aunque esta última parte no se suele nombrar.
- Planos: similar a las rectas. Son perpendiculares cuando originan cuatro ángulos diedros de 90 grados cada uno; ver diedro para mayor información.
- Semiplanos: dos semiplanos compartiendo la misma recta de origen delimitan un ángulo diedro de 90° y otro de 270º, aunque esta última parte no se suele nombrar.
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[editar] Propiedades
- Simétrica: Si una figura geométrica es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.
- Si dos rectas al cortarse forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares.
- Los lados de un ángulo recto y sus semirrectas opuestas, determinan dos rectas perpendiculares. Esto se puede extender a semiplanos (los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares)..
[editar] Postulado de unicidad
En un plano, por un punto perteneciente o exterior a una recta pasa una y solo una recta perpendicular.
[editar] Construcción de la perpendicular a una recta por un punto dado
Para construir una perpendicular a la línea AB a través del punto P usando regla y compás, procede como sigue:
- Paso 1 (rojo): dibuja un círculo con centro en P para crear los puntos A' y B' en la línea AB, los cuales son equidistantes a P.
- Paso 2 (verde): dibuja dos círculos centrados en A' y B', pasando los dos por P. Sea Q el otro punto de intersección de estos dos círculos.
- Paso 3 (azul): une P y Q para obtener la perpendicular PQ.
Para probar que PQ es perpendicular a AB, usa el teorema de congruencia SSS para los triángulos QPA' y QPB' para demostrar que los ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego usa el teorema de congruencia SAS para los triángulos OPA' y OPB' para demostrar que los ángulos POA y POB son iguales.
[editar] Con relación a líneas paralelas
Como se ve en la figura, si dos líneas (a y b) son perpendiculares a una tercera línea (c), todos los ángulos formados en la tercera línea son ángulos rectos. Por lo tanto, en Geometría euclidiana, cualquier par de líneas que son perpendiculares a una tercera línea son paralelas entre sí, debido al quinto postulado de Euclides. Por el contrario, si una línea es perpendicular a una segunda línea, también es perpendicular a cualquier línea paralela a la segunda línea.
En la figura, todos los ángulos naranjas son congruentes entre sí y todos los ángulos verdes son congruentes entre sí, porque los ángulos opuestos por el vértice son congruentes y los ángulos alternos interiores formados por un corte transversal de líneas paralelas son congruentes. Por lo tanto, si las líneas a y b son paralelas, cualquiera de las conclusiones siguientes conduce a todas las demás:
- Uno de los ángulos del diagrama es un ángulo recto.
- Uno de los ángulos naranja es congruente con uno de los ángulos verdes.
- La línea c es perpendicular a la línea a.
- La línea c es perpendicular a la línea b.
[editar] Véase también
[editar] Enlaces externos
- Definición: perpendicular Con animación (en inglés)
- Cómo dibujar un bisector perpendicular de una línea con regla y compás Con animación (en inglés)
- Cómo dibujar una perpendicular al final de una línea con regla y compás Con animación (en inglés)
