Mediatriz

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como la recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se la llama simetral. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento AB.

Construcción gráfica de la mediatriz con regla y compás.

Trazado de la mediatriz de un segmento con regla y compás

Dado un segmento, se puede obtener su mediatriz del siguiente modo:

- Abrir el compás una distancia mayor a la mitad de la longitud del segmento.

- Trazar dos arcos de circunferencia con centros en los extremos del segmento.

- La recta que pasa por los dos puntos en que se cortan ambas circunferencias es la mediatriz.

Aplicación en triángulos

Las tres mediatrices de cualquier triángulo se intersecan siempre en un solo punto denominado circuncentro, el cual es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, es decir, de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Demostración

En efecto, sea $AB$ un segmento delimitado por los puntos $A$ y $B$ (véase la figura 1). Sea $M$ el punto medio del segmento y $r$ la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea $P$ un punto sobre la recta $r$. En la simetría axial respecto de la recta $r$, el punto $P$ es invariante y los puntos $A$ y $B$ son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el segmento $AP$ se transforma en el segmento $BP$, ambos segmentos son congruentes y el punto $P$ equidista de los puntos $A$ y $B$. En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta $r$ pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión.

Archivo:Mediatriz.svg

Recíprocamente, (véase figura 2) sea $AB$ un segmento y sea $P$ un punto que equidista de $A$ y de $B$, esto es, que los segmentos $AP$ y $BP$ son iguales. Consideremos la bisectriz $R$ del ángulo $APB$ y sea $M$ la intersección de dicha bisectriz con el segmento $AB$.

Por construcción, los ángulos $APM$ y $BPM$ son iguales y en la simetría axial respecto de la recta $r$ se transforman uno en el otro. Como los segmentos $PA$ y $PB$ son iguales en esta simetría, los puntos $A$ y $B$ son uno la imagen del otro. Concluimos que el punto $M$ es punto medio del segmento $AB$ y que dicho segmento es perpendicular a la recta $r$.

Circuncentro

En todo triángulo ABC las mediatrices de sus tres lados concurren en un mismo punto, llamado el circuncentro (O) del triángulo. Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La circunferencia de centro O y de radio OA, pasa por los otros dos vértices del triángulo. Se dice que dicha circunferencia es circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la circunferencia.

La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

De izquierda a derecha, el circuncentro de un triángulo rectángulo, obtusángulo y acutángulo.

Véase también

• Circuncentro
• Bisectriz