Polígono regular

En geometría, se le llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son congruentes entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente; para polígonos de más lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular, ...). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.

Elementos de un polígono regular

• Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
• Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
• Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.
• Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
• Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
• Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
• Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.
• Semiperímetro, SP: es la semisuma del perímetro.
• Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio de un arco de circunferencia y cuerda.

Propiedades de un polígono regular

• Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma medida.
• Los polígonos regulares son equiangulares, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma medida.
• Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia.

Ángulos de un polígono regular

Ángulo central

• Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono como sigue:

$\alpha = \frac{360^\circ}{n} \;$ en grados sexagesimales

$\alpha = \frac{2\pi}{n} \;$ en radianes

Ángulo interior

• El ángulo interior, $\beta \,$, de un polígono regular mide:

$\beta = 180^\circ \cdot \frac{(n-2)}{n} \;$ en grados sexagesimales

$\beta = \pi \cdot \frac{(n-2)}{n} \;$ en radianes

• La suma de los ángulos interiores, $\sum \beta \;$, de un polígono regular es de:

$\sum \beta = 180^\circ \cdot {(n-2)} \;$ en grados sexagesimales

$\sum \beta = \pi \cdot {(n-2)} \;$ en radianes

Ángulo exterior

• El ángulo exterior, $\gamma \;$, de un polígono regular es de:

$\gamma = \frac{360^\circ}{n} \;$ en grados sexagesimales

$\gamma = \frac{2 \pi}{n} \;$ en radianes

• La suma de los ángulos exteriores, $\sum \gamma \,$, de un polígono regular es:

$\sum \gamma = 360^\circ \;$ en grados sexagesimales

$\sum \gamma = 2 \pi \;$ en radianes

Galería de polígonos regulares

• 

  Triángulo equilátero (Triángulo regular)(3).

• 

  Cuadrado (cuadrilátero regular).(4)

• 

  Pentágono regular.(5)

• 

  Hexágono regular.(6)

• 

  Heptágono regular.(7)

• 

  Octágono regular.(8)

• 

  Eneágono regular.(9)

• 

  Decágono regular.(10)

• 

  Endecágono regular.(11)

• 

  Dodecágono regular.(12)

• 

  Tridecágono regular.(13)

• 

  Tetradecágono regular.(14)

Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.

Área de un polígono regular

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

Área en función del perímetro y la apotema

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

$A = \frac {P \cdot a}{2}$

Demostración

Partiendo del triángulo que tiene por base un lado,L, del polígono y altura su apotema,a , el área de este triángulo, es: $A_t = \frac{L \cdot a}{2} \;$ Un polígono de n lados, tiene n de estos triángulos, por lo tanto el área del polígono será: $A_p = \frac{L \cdot a}{2} \cdot n \;$ esto es: $A_p = \frac{L \cdot n \cdot a}{2} \;$ Sabiendo que la longitud de un lado,L, por el número,n, de lados es el perímetro,P , tenemos: $A_p = \frac{P \cdot a}{2} \;$

Área en función del número de lados y la apotema

Sabiendo que:

$A_p = \frac {L \cdot n \cdot a} {2}$

Además $\delta = \frac {\pi} {n} \$, ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que:

$L = 2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )$

Sustituyendo el lado:

$A_p = \frac { \left ( 2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right ) \right ) \cdot n \cdot a } {2}$

Finalmente:

$A_p = a^2 \cdot n \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )$

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.

Área en función del número de lados y el radio

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

$L = 2 r \sin({\delta}) \;$

$a = r \cos({\delta}) \;$

donde el ángulo central es:

$\alpha = 2 \delta = \frac{2\pi}{n} \;$

sabiendo que el área de un polígono es:

$A_p = \frac{L \cdot n \cdot a}{2} \;$

y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

$A_p = \frac{2 r \sin({\delta}) \cdot n \cdot r \cos({\delta})}{2} \;$

ordenando tenemos:

$A_p = \frac{n r^2 \cdot 2 \sin({\delta}) \cos({\delta})}{2} \;$

sabiendo que:

$2 \sin({\delta}) \cos({\delta}) = \sin({2 \delta}) \;$

resulta:

$A_p = \frac{n r^2 \sin({\alpha})}{2} \;$

o lo que es lo mismo:

$A_p = \frac{n r^2 \sin({\frac{2\pi}{n}})}{2} \;$

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

Área de un polígono en función del lado

Y si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:

$A_p = n \cdot \frac{L \cdot a}{2}$

Sea $\varphi$ el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":

$\varphi = \frac{\pi-\alpha}{2} \ = \frac{\pi-\frac{2\pi}{n}}{2} \ = \frac{\pi}{2} \; \frac{(n-2)}{n}$

El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:

$\tan \varphi = \frac{a}{\frac{L}{2}} = \frac{2a}{L}$

Despejando la apotema tenemos:

$a = \frac{L \cdot \tan \varphi}{2}$

Sustituimos la apotema por su valor:

$\left . \begin{array}{l} A_p = n \cdot \cfrac{L \cdot a}{2} \\ \\ a = \cfrac{L \cdot \tan \varphi}{2} \\ \\ \varphi = \cfrac{\pi}{2} \; \cfrac{(n-2)}{n} \end{array} \right \} \quad \longrightarrow \quad A_p = n \cdot \cfrac{L^2}{4} \cdot \tan \left ( \cfrac{\pi}{2} \; \cfrac{(n-2)}{n} \right )$

Se puede ver en el dibujo que $tan(\delta) = \frac{1}{tan(\varphi)}$ y la fórmula puede escribirse también como $A_p = \frac{n \cdot L^2}{4 \cdot \tan\left( \frac{180^{o}}{n}\right)}$.

Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.

Diagonales de un polígono regular

Número de diagonales

Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento:

• De un vértice cualquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos.
• Esto es válido para los n vértices del polígono.
• Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior tendríamos el doble de diagonales de las existentes.

Según el razonamiento tendremos que:

$N_d = \frac{n (n-3)}{2}$

Longitud de la diagonal más pequeña

La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son perpendiculares en A.

Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto:

$\sin({\alpha}) = \frac{\frac{d}{2}}{r}$

que resulta:

$\sin({\alpha}) = \frac{d}{2r}$

de donde deducimos que:

$d = 2r \sin({\alpha}) \,$

Sabiendo el valor del ángulo central:

$d = 2r \sin \left ({\frac{2\pi}{n}}\right )$

La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del número de lados, siendo tanto mayor cuanto mayor sea el radio y disminuyendo de longitud cuando aumenta el número de lados del polígono.

Véase también

• Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas
• Polígono
• Polígono equilátero
• Estrella (figura geométrica)
• Regla y compás
• Trigonometría

Bibliografía

1. Echegaray, José (2001) (en español). Geometría: ángulos, polígonos y circunferencias (1 edición). Editorial Bruño. pp. 32. ISBN 978-84-216-4219-1. 
2. (en español) Geometría, polígonos, circunferencia y círculo (1 edición). Editorial Acueducto, S.L.. 2000. pp. 32. ISBN 978-84-95523-32-7. 
3. (en español) Geometría, polígonos, circunferencia y círculo, Educación Primaria (1 edición). Editorial Escudo, S.L.. 1997. pp. 32. ISBN 978-84-89833-36-4. 

Enlaces externos

• Polígono regular en thales.cica.es