Triángulo rectángulo

En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90-grados. Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras ya conocido por los babilonios.

Terminología

Un triángulo rectángulo y sus elementos.

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto. Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto. Si la medida de los lados son números enteros, estos reciben el nombre de terna pitagórica.

Tipos de triángulo rectángulo

Existen dos tipos de triángulo rectángulo:

• Triángulo rectángulo isósceles: los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores son de 45-45-90. En este tipo de triángulo, la hipotenusa mide $\sqrt{2}$ veces la longitud del cateto.

• Triángulo rectángulo escaleno: los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida. Un caso particular es aquél cuyos ángulos interiores miden 30-60-90, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble del cateto menor, y el cateto mayor $\sqrt{3}$ veces la longitud del cateto menor.

• 

  Triángulo rectángulo isósceles.

• 

  Triángulo rectángulo escaleno.

Relaciones métricas

Las relaciones métricas del triángulo rectángulo son cuatro. Los tres triángulos formados al trazar la altura relativa a la hipotenusa son rectángulos y semejantes.

Ilustración de los principales elementos del triángulo rectángulo:
a es la hipotenusa,
b el cateto mayor,
c el cateto menor,
h la altura relativa a la hipotenusa,
m la proyección del cateto b y
n la proyección del cateto c.

• La hipotenusa es igual a la suma de las proyecciones.

$a=m+n \,\!$

Por semejanza de triángulos, tenemos que:

• El cuadrado de la altura relativa de los catetos.

$\frac{h}{m}=\frac{n}{h} \Rightarrow h^2=mn \,\!$

• El cuadrado de un cateto, es igual al producto entre su proyección (que se encuentra de su lado) y la hipotenusa.

$\frac{b}{a}=\frac{m}{b} \Rightarrow b^2 = am \,\$

$\frac{c}{a}=\frac{n}{c} \Rightarrow c^2 = an \,\$

• El producto entre la hipotenusa y la altura relativa a ella, es igual al producto de los catetos.

$\frac{a}{c}=\frac{b}{h} \Rightarrow ah=bc \,\$

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. $\displaystyle a^2+b^2=c^2$

Fórmulas para calcular un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.

Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas

$a = \sqrt {c^2 - b^2}$

$b= \sqrt{c^2-a^2}$

$c = \sqrt {a^2 + b^2}$

Teorema de la altura

El teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:

Teorema de la altura (forma 1) En cualquier triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la media geométrica entre las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

Demostración

La altura del triángulo rectángulo ABC (véase Figura 1) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que

$\frac{h}{n} = \frac{m}{h}$

Figura 1: Teorema de la altura.

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por $hn$ se tiene:

$h^2=m\,n \,$

por lo que

(1) $h=\sqrt{m\,n}$

Otra forma del mismo teorema

La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase Figura 1) también puede obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuación (1) del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.

$m=\frac{b^2}{a} \,$   ;    $n=\frac{c^2}{a} \,$

(h2) $h=\sqrt{m\,n}=\sqrt{\frac{b^2}{a}\frac{c^2}{a}}$

lo que al simplificar en el último término de la ecuación (h2) la raíz con los cuadrados nos conduce a:

(h3) $h=\frac{b\,c}{a}$

Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la hipotenusa.

La ecuación (h3) nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema:

Teorema de la altura (forma 2) En todo triángulo rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al producto de sus catetos b y c divididos por la hipotenusa a.

Teorema del cateto

El teorema del cateto establece lo siguiente

Teorema del cateto En todo triángulo rectángulo como cualquier triangulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de ese cateto sobre la hipotenusa.

Este teorema (véase Figura 1) puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:

$b^2 \ =\ c\; m$

$a^2 \ =\ c\; n$

Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.

Demostración

Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.

Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.

Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes:

1. Todos tienen un ángulo recto.
2. Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.
3. Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.

Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:

• Por la semejanza entre los triángulos ΔACH y ΔABC

$\frac {b}{m}=\frac {c}{b}$

de donde,

$b^2 \ =\ cm$

• Por la semejanza entre los triángulos ΔBCH y ΔABC

$\frac {a}{n}=\frac {c}{a}$

$a^2 \ =\ cn$

y el teorema queda demostrado.

Corolario

“En todo triángulo rectángulo la longitud de la proyección ortogonal de cualquier cateto sobre la hipotenusa es igual al cuadrado de la longitud de ese mismo cateto dividido por la longitud de la hipotenusa.”

Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir el «corolario 1» basta con despejar en cada una de ellas, la respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo éstas m y n:

$b^2 \ =\ c\; m \;\;\;\; ; \;\;\;\; a^2 \ =\ c\; n$

en las que al despejar respectivamente m y n producen las ecuaciones del «corolario 1»:

$m=\frac{b^2}{c} \;\;\;\; ; \;\;\;\; n=\frac{a^2}{c}$

donde m es la proyección ortogonal del cateto b sobre la hipotenusa c (véase figura 1) y n es la proyección ortogonal del cateto a también sobre la hipotenusa c.

Cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos. La medida de un cateto es la media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.

$\frac{a}{b} = \frac{b}{m}$   , también se cumple:   $\frac{a}{c} = \frac{c}{n}$

La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.

$\frac{m}{h} = \frac{h}{n}$   , es decir:   $h^2 = m \cdot n \,$

Las tres alturas del triángulo rectángulo pueden calcularse como:

$h_a=\frac{b\cdot c}{a}$   ;   $h_b=c$   ;   $h_c=b$

donde b y c son los catetos y a, la hipotenusa, en tanto que h_a, h_b y h_c son las alturas sobre los respectivos lados.

Razones trigonométricas

En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo $\alpha \;$ con vértice en A, son:

El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

$\text{sen}(\alpha)= \frac{a}{c}$

El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

$\cos(\alpha)= \frac{b}{c}$

La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

$\tan(\alpha)= \frac{a}{b}$

Área

fig. ar1: Relación entre el rectángulo y dos de las tres alturas (la de los catetos) de un triángulo rectángulo.

Se puede considerar el área de un triángulo rectángulo como la mitad del área de un rectángulo partido por su diagonal, véase fig. ar1, (o un cuadrado si el triángulo rectángulo es además isósceles).

(A1) $A = \frac{b \cdot a}{2}$

donde a y b de la ecuación (A1) representan las medidas de los dos catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo (véase fig. ar1).

En todo triángulo rectángulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectiva altura del otro. Asumiendo que a = cateto1 y b = cateto2 se puede escribir una versión equivalente de ecuación (A1) de la siguiente manera:

$A = \frac{cateto1 \cdot cateto2}{2}$

La demostración anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho más general que vale para todo triángulo (no solo para los triángulos rectángulos); Y esta es la "proposición I.41 de Euclides, la cual se basa en el concepto más general de paralelogramo y no se restringe al rectángulo. Dicha proposición I.41 extiende la validez de la ecuación (A1) a todo triángulo.

Véase también

• Teorema de Pitágoras
• Triángulo
• Cateto
• Hipotenusa
• Triángulo de Kepler
• Teorema de la altura
• Triángulo sagrado egipcio

Referencias

• Sitio web: Disfruta las matemáticas [1].

Enlaces externos

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