Triángulo rectángulo

De Wikipedia, la enciclopedia libre
(Redirigido desde «Teorema del cateto»)
Saltar a: navegación, búsqueda
Rtriangle.svg

En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.[1] Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras ya conocido por los babilonios.[2]

Terminología[editar]

Un triángulo rectángulo y sus elementos.

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto. Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto. Solo si la medida de los tres lados son números enteros, estos constituyen un trío de nombre terna pitagórica.

Propiedades[editar]

  • Todo triángulo tiene exactamente dos ángulos agudos.
  • La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.
  • La hipotenusa es menor que la suma de los dos catetos.
  • Para efectos de área, un cateto cualquiera se puede considerar como base y el otro cateto como altura.[3]

Tipos de triángulo rectángulo[editar]

Existen dos tipos de triángulo rectángulo:

  • Triángulo rectángulo isósceles: los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores son de 45-45-90. En este tipo de triángulo, la hipotenusa mide \sqrt{2} veces la longitud del cateto.
  • Triángulo rectángulo escaleno: los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida. Un caso particular es aquél cuyos ángulos interiores miden 30-60-90, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble del cateto menor, y el cateto mayor \sqrt{3} veces la longitud del cateto menor.
  • Triángulo rectángulo de lados consecutivos: las medidas de sus lados tienen 3, 4 y 5 unidades de longitud. Aparece en las culturas del cercano oriente: Babilonia y Egipto. Histórico, útil y didáctico, adaptable a un geoplano.[4] Sin lados consecutivos es el triángulo de lados que miden 5,12 y 13 unidades de longitud, menos conocido que el anterior.

Relaciones métricas[editar]

Las relaciones métricas del triángulo rectángulo son cuatro. Los tres triángulos formados al trazar la altura relativa a la hipotenusa son rectángulos y semejantes.

Ilustración de los principales elementos del triángulo rectángulo:
a es la hipotenusa,
b el cateto mayor,
c el cateto menor,
h la altura relativa a la hipotenusa,
m la proyección del cateto b y
n la proyección del cateto c.
  • La hipotenusa es igual a la suma de las proyecciones.
 a=m+n \,\!

Por semejanza de triángulos, tenemos que:

  • El cuadrado de la altura relativa de los catetos.
 \frac{h}{m}=\frac{n}{h} \Rightarrow h^2=mn \,\!
  • El cuadrado de un cateto, es igual al producto entre su proyección (que se encuentra de su lado) y la hipotenusa.
 \frac{b}{a}=\frac{m}{b} \Rightarrow b^2 = am \,\
 \frac{c}{a}=\frac{n}{c} \Rightarrow c^2 = an \,\
  • El producto entre la hipotenusa y la altura relativa a ella, es igual al producto de los catetos.
 \frac{a}{c}=\frac{b}{h} \Rightarrow ah=bc \,\

Teorema de Pitágoras[editar]

El teorema de Pitágoras establece que:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

\displaystyle a^2+b^2=c^2

Fórmulas para calcular un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.

 a = \sqrt {c^2 - b^2}  b= \sqrt{c^2-a^2}  c = \sqrt {a^2 + b^2}


Teorema de la altura[editar]

El teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:

Teorema de la altura (forma 1)

En cualquier triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la media geométrica entre las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

Demostración

La altura del triángulo rectángulo ABC (véase Figura 1) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que

\frac{h}{n} = \frac{m}{h}
Figura 1: Teorema de la altura.

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por hn se tiene:

h^2=m\,n \,

por lo que

(1)h=\sqrt{m\,n}

Otra forma del mismo teorema[editar]

La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase Figura 1) también puede obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuación (1) del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.

m=\frac{b^2}{a} \,   ;    n=\frac{c^2}{a} \,

(h2)h=\sqrt{m\,n}=\sqrt{\frac{b^2}{a}\frac{c^2}{a}}

lo que al simplificar en el último término de la ecuación (h2) la raíz con los cuadrados nos conduce a:

(h3)h=\frac{b\,c}{a}

Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la hipotenusa.

La ecuación (h3) nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema:

Teorema de la altura (forma 2)

En todo triángulo rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al producto de sus catetos b y c divididos por la hipotenusa a.

Teorema del cateto[editar]

El teorema del cateto establece lo siguiente:

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección ortogonal de ese cateto sobre la hipotenusa.

Este teorema (véase Figura 1) puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:

b^2 \ =\ c\; m

a^2 \ =\ c\; n

Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.

Demostración[editar]

Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.

Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivament

Razones trigonométricas[editar]

En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo, con vértice en 'A, con medida \alpha \; ', son:

Triángulo-en-círculo.svg

El seno: la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

 \text{sen}(\alpha)= \frac{a}{c} ; su inverso multiplicativo, si existe, se denomina cosecante

El coseno: la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

 \cos(\alpha)= \frac{b}{c} ; su inverso multiplicativo si existe, se llama secante.

La tangente: la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

 \tan(\alpha)= \frac{a}{b} ; el inverso de la razón anterior, si es posible, se nombra cotangente.[5]

Área[editar]

fig. ar1: Relación entre el rectángulo y dos de las tres alturas (la de los catetos) de un triángulo rectángulo.

Se puede considerar el área de un triángulo rectángulo como la mitad del área de un rectángulo partido por su diagonal, véase fig. ar1, (o un cuadrado si el triángulo rectángulo es además isósceles).

(A1)A = \frac{b \cdot a}{2}

donde a y b de la ecuación (A1) representan las medidas de los dos catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo (véase fig. ar1).

En todo triángulo rectángulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectiva altura del otro. Asumiendo que a = cateto1 y b = cateto2 se puede escribir una versión equivalente de ecuación (A1) de la siguiente manera:

A = \frac{cateto1 \cdot cateto2}{2}

La demostración anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho más general que vale para todo triángulo (no solo para los triángulos rectángulos); Y esta es la "proposición I.41[6] de Euclides, la cual se basa en el concepto más general de paralelogramo y no se restringe al rectángulo. Dicha proposición I.41 extiende la validez de la ecuación (A1) a todo triángulo.

Área máxima[editar]

Un triángulo de mayor área que se puede inscribir en una semicircunferencia es el que tiene cada cateto igual al radio r de la semicircunferencia y la hipotenusa coincide con el diámetro. Es pues un triángulo rectángulo isósceles.[7]

En tres dimensiones[editar]

Un triángulo rectángulo que gira, teniendo como eje uno de sus catetos y como generatriz su hipotenusa, genera un cono de radio igual el cateto no axial y altura igual al cateto axial.

Si dos triángulos rectángulos semejantes engendran dos conos, en las condiciones del enunciado precedente, entonces sus volúmenes son proporcionales a los cubos de cualquier par de lados correspondientes. También las áreas son proporcionales a los cuadrados de cualquier par de lados correspondientes.

Si ambos conos tienen el mismo eje, y un plano secante que interseca ambos conos genera dos elipses, dichas elipses tienen ejes proporcionales entre sí (es decir, son semejantes).[8]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Weisstein, Eric W. «Triángulo rectángulo» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
  2. Hofmann: "Historia de la Matemática" (2003), Limusa Noriega Editores, México, D.F. pg. 11
  3. Nichols. Palmer. Schacht: Geometría Moderna, Cecsa México décimatercera impresión (1989)
  4. Esta nota se basa en Matemáticas, publicación de la revista Life
  5. Álgebra y trigonometría con geometría analítica ISBN 968-880-222-0
  6. Euclides Los Elementos, proposición I.41 → "Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo".
  7. Se usa la función área, A(x)= 2rh, donde la altura h es media proporcional entre x y (2r-x), proyecciones de los catetos sobre el diámetro
  8. Stanley Clemens; Phares O'Daffer; Thomas J Cooney (1984). Geometria Con Aplicaciones Y Solución De Problemas. Addison Wesley. ISBN 0-201-64407-X. 
  • Sitio web: Disfruta las matemáticas [1].

Enlaces externos[editar]