Tangente (trigonometría)

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Representación en un círculo unitario el seno, coseno y la tangente de un ángulo.

En trigonometría la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

 \tan(\alpha) = \frac{a}{b}

O también como la relación entre el seno y el coseno:

 \tan(\alpha) = \frac{\sen(\alpha) }{\cos(\alpha) } \,

Representación gráfica[editar]

FunTriR001.svg

Identidades[editar]

Tangente de la suma de dos ángulos[editar]

Esta identidad trigonométrica parte de la identidad de la suma de dos ángulos ya conocida para el seno y el coseno.

  • Dados los ángulos  \phi,\theta\ :

   \tan\left(\phi+\theta\right) =
   \cfrac{\sen(\phi+\theta)}{\cos(\phi+\theta)}
  • Reemplazando por las identidades antes mencionadas:

   \tan\left(\phi+\theta\right) =
   \cfrac{
      \sen \phi \cos \theta + \cos \phi \sen \theta
   }{
      \cos \phi \cos \theta - \sen \phi \sen \theta
   }
  • Dividiendo al numerador y al denominador por \cos\phi\cos\theta\,:

   \tan \left( \phi + \theta \right) = 
   \cfrac{
      \cfrac{
         \sen \phi \cos \theta + \cos \phi \sen \theta
      }{
         \cos \phi \cos \theta
      }
   }{
      \cfrac{
        \cos\phi\cos\theta-\sen\phi\sen\theta
      }{
         \cos\phi\cos\theta
      }
   }
  • Separando la suma y la resta:

   \tan \left( \phi + \theta \right) =
   \cfrac{
      \cfrac{
         \sen\phi\cos\theta
      }{
         \cos\phi\cos\theta
      } + 
      \cfrac{
         \cos\phi\sen\theta
      }{
         \cos\phi\cos\theta
      }
   }{
      \cfrac{
         \cos\phi\cos\theta
      }{
         \cos\phi\cos\theta
      } -
      \cfrac{
         \sin\phi\sen\theta
      }{
         \cos\phi\cos\theta
      }
   }
  • Simplificando cada fracción:

   \tan \left( \phi + \theta \right) =
   \cfrac{
      \cfrac{
         \sen \phi
      }{
         \cos \phi
      } +
      \cfrac{
         \sen \theta
      }{
         \cos \theta
      }
   }{ 1 -
      \cfrac{
         \sen \phi \sen \theta
      }{
         \cos \phi \cos \theta
      }
   }
  • Reemplazando las fracciones de seno y coseno por tangente, se obtiene:

   \tan \left( \phi + \theta \right) =
   \cfrac{
      \tan \phi + \tan \theta
   }{
      1 - \tan \phi \tan \theta
   }

Tangente de la diferencia de dos ángulos[editar]

  • 
   \tan \left( \phi + (- \theta) \right) =
   \frac{
      \tan \phi + \tan (-\theta)
   }{
      1 - \tan \phi \tan (-\theta)
   }

   \tan \left( \phi - \theta \right) =
   \frac{
      \tan \phi - \tan \theta
   }{
      1 + \tan \phi \tan \theta
   }

Forma resumida[editar]

\tan\left(\phi\pm\theta\right)=\frac{\tan\phi\pm\tan\theta}{1\mp\tan\phi\tan\theta}

Tangente de un ángulo doble[editar]

  • 
   \tan \left( \phi + \theta \right) =
   \frac{
      \tan \phi + \tan \theta
   }{
      1 - \tan \phi \tan \theta
   }
  • Haciendo \phi=\theta\, entonces:

   \tan \left( 2 \phi \right) =
   \frac{
      2 \tan \phi
   }{
      1 - \tan^2 \phi
   }

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]