Función recíproca

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Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a.

En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.

Definiciones formales[editar]

Sea f una función real biyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

f(x) = y\Leftrightarrow{}f^{-1}(y) = x\text{.}\,\!

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

  • f^{-1} \circ f = id_i y
  • f \circ f^{-1}=id_j.

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Definiciones alternativas[editar]

Función reciproca esquema.png

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

  1. g \circ f = id_I y
  2. f \circ g=id_J,

entonces:

  • Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
  • Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.
  • Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.

Este último punto se usa como definición de función inversa.

Notación alternativa[editar]

La notación tradicional f^{-1} puede ser confusa, ya que puede dar a entender \frac{1}{f} . Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

  • f^\star:B \rightarrow A

Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número -1:

  • f^-:B \rightarrow A \,.

Propiedades algebraicas[editar]

Inversión del orden en la composición de funciones.
  • La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula
(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}
Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,
  • La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:
\left(f^{-1}\right)^{-1} = f
Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas:  f^{-1} \circ f = Id_{X} y  f \circ f^{-1} = Id_{Y}.

Propiedades analíticas de funciones reales de una variable[editar]

Continuidad[editar]

  • f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.
  • Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).

Gráfica de la función inversa[editar]

Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2.
  • Las gráficas que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M´(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M´ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.
  • Las tangentes en M y M´ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(yf '(x) = 1.

Derivabilidad[editar]

  • f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.
  • Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces por regla de la cadena tenemos que g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

Ejemplos[editar]

En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus potencias, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.
  • Por construcción misma, la función raíz cuadrada es la recíproca de la función "cuadrada" con dominio los reales no negativos, x \rightarrow x^2 Es decir, las dos funciones siguientes son una recíproca de la otra:

\begin{cases} f:\R^+ \to \R^+ \\ x \mapsto x^2 \end{cases} \qquad 
\begin{cases} g:\R^+ \to \R^+ \\ x \mapsto \sqrt{x} \end{cases} \qquad
f\circ g (x)= g\circ f (x) = x

Para f(x) = \cos(x) = y, g(y) = f^{-1}(y) = \arccos(y), y utilizando \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 se obtiene: g'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{-\sin(x)} = \frac{1}{-\sqrt{1-\cos^2(x)}} = \frac{-1}{\sqrt{1-y^2}}
Para f(x) = \tan(x) = y, g(y) = f^{-1}(y) = \arctan(y), y utilizando \tan'(x) = 1 + \tan^2(x) se obtiene: g'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{1 + \tan^2(x)} = \frac{1}{1+y^2}

Se generaliza el concepto de función recíproca a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones recíprocas.

  • En otras ocasiones una función inversa puede existir y estar bien definida pero no pude escribirse en términos de funciones elementales, como sucede con la función f:

\begin{cases} f:\R \to [-1,1]\\ x \mapsto
\cfrac{1}{2\pi}\left[ \ln\left(\cfrac{x^2+x\sqrt{2}+1}{x^2-x\sqrt{2}+1}\right) + 2\arctan(x\sqrt{2}+1)+2\arctan(x\sqrt{2}-1) \right] =
\sum_{k=0}^\infty \cfrac{(-1)^k x^k}{4k+1}\end{cases}

Aunque la función recíproca se puede aproximar como serie de Taylor:

f^{-1}(x) \approx x + \frac{x^5}{5} + \dots

Véase también[editar]