Arcotangente

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Función arcotangente
Arctangent Arccotangent.svg
Gráfica de Función arcotangente
Definición  \textstyle f \mbox{ tal que } f(\tan(x))=x
 \forall x\in (-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)
Tipo Trigonométrica inversa
Dominio (-\infty,+\infty)
Codominio (-\infty,+\infty)
Imagen \textstyle (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})
Cálculo infinitesimal
Derivada  \frac{1}{x^2+1}
Función inversa \textstyle \tan(x) \quad x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})
Límites \lim_{x\to -\infty}\arctan(x)=-\frac{\pi}{2}\,
\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)=\frac{\pi}{2}\,
Funciones relacionadas arcocoseno
arcoseno
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En trigonometría, la arcotangente se define como la función inversa de la tangente de un ángulo. Simbolizada:


   y =
   \arctan \alpha \,

su significado geométrico es el arco y (en radianes) cuya tangente es \alpha.

La función tangente no es biyectiva, por lo que no tiene recíproca. Es posible aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelva inyectiva y sobreyectiva. Por convención es preferible restringir el dominio de la función tangente al intervalo abierto \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).

Notación[editar]

La notación matemática de la arcotangente es arctan; es común la escritura ambigua tan-1. En diversos lenguajes de programación se suelen utilizar la formas ATN, ATAN, ARCTAN, ARCTG y ATG.

Propiedades[editar]

Como el resto de las funciones trigonométricas, es una función continua y derivable, de clase C^\infty (es decir, existen sus derivadas de todos los órdenes).

Es una función impar, o sea que  \arctan(-x)=-\arctan(x) .

Algunos valores especiales[editar]

 \arctan(0)=0
 \arctan\left(\frac 1 \sqrt 3\right)=\frac \pi 6
 \arctan(1)=\frac \pi 4
 \arctan(\sqrt 3)=\frac \pi 3

Límites en infinito[editar]

\lim_{x\to\infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}
\lim_{x\to-\infty} \arctan(x) = -\frac{\pi}{2}

Derivadas y crecimiento[editar]

(\arctan(x))' = \frac{1}{x^2+1}

En particular, resulta ser una función estrictamente creciente.

(\arctan(x))'' = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}, que es positivo en \R^- y negativo en \R^+.

Integral indefinida[editar]

Utilizando el método de integración por partes puede calcularse una función primitiva de \arctan(x):

\int \arctan(x)\ dx=\int \arctan(x)\cdot 1\ dx= \arctan(x)\cdot x \ -\ \int x\cdot\frac 1 {x^2+1}dx= \arctan(x)\cdot x\ - \ \frac 1 2 \log(x^2+1) \ +\ C

Serie de Maclaurin[editar]

\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1.

Aplicaciones[editar]

En un triángulo rectángulo, la arcotangente equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y su cateto adyacente.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]