Coseno

En trigonometría el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a ese ángulo y la hipotenusa:

$\cos\alpha = \frac{b}{c}$

En virtud del Teorema de Tales, este número no depende del triángulo rectángulo escogido y, por lo tanto, está bien construido y define una función del ángulo $\alpha.$

Otro modo de obtener el coseno de un ángulo consiste en representar éste sobre la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de intersección del ángulo con la circunferencia. Esta construcción es la que permite obtener el valor del coseno para ángulos no agudos.

En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real $x$ con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes, $x$. Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es

$\begin{array}{rl} \cos x = & 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots \\ \\ = & \sum_{n=0}^\infty \; (-1)^n \; \frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{array}$

La serie de potencias anterior proporciona a su vez la extensión de la función coseno al plano complejo del siguiente modo:

${\rm cos\ }z=\frac{e^{iz} + e^{-iz} }{2}$

Donde i es la unidad imaginaria.

Representación gráfica en la recta real

Coseno de una suma o resta de ángulos

Coseno de la diferencia de dos ángulos

Esta identidad trigonométrica se muestra a partir del producto escalar de dos vectores.

$\forall\ \theta,\phi\in\mathbb{R}$

• Utilizando las dos definiciones de producto escalar se obtiene:

$\begin{cases} \vec{v}\cdot\vec{u}=|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi - \theta \right)\\ \vec{v}\cdot\vec{u}=x_vx_u+y_vy_u\\ \end{cases}$

• Por igualación se define que

$|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi - \theta\right)=x_vx_u+y_vy_u$

• Las componentes de los vectores se pueden reemplazar como la proyección de su módulo sobre los ejes, es decir

$x_v=|\vec{v}|\cos\phi$

$y_v=|\vec{v}|\sin\phi$

• Reemplazando esta propiedad en ambos vectores nos queda

$|\vec{v}||\vec{u}|\cos\left(\phi -\theta\right)=|\vec{v}|\cos\phi|\vec{u}|\cos\theta+|\vec{v}|\sin\phi|\vec{u}|\sin\theta$

• Extrayendo como factor común los módulos de los vectores en el segundo miembro

$|\vec{v}||\vec{u}|\cos \left(\phi -\theta\right)=|\vec{v}||\vec{u}|(\cos\phi\cos\theta+\sin\phi\sin\theta)$

• Simplificando nos queda la identidad trigonométrica

$\cos\left(\phi-\theta\right)=\cos\phi\cos\theta+\sin\phi\sin\theta$

Coseno de la suma de dos ángulos

• Si hacemos

$\cos\left(\phi-(-\theta\right))=\cos\phi\cos(-\theta)+\sin\phi\sin(-\theta)$

• obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale

$\cos\left(\phi+\theta\right)=\cos\phi\cos\theta-\sin\phi\sin\theta$

Forma resumida

$\cos\left(\phi\pm\theta\right)=\cos\phi\cos\theta\mp\sin\phi\sin\theta$

Coseno de un ángulo doble

Tenemos que

$\cos\left(\phi +\theta\right)=\cos\phi\cos\theta-\sin\phi\sin\theta$

Hagamos $\phi=\theta\,$ Entonces

$\cos\left(2\phi\right)=\cos^2\phi-\sin^2\phi$

Coseno del ángulo medio

Nótese que con un simple manejo algebraico podemos obtener la fórmula del coseno del ángulo medio. Sea $\alpha, \phi \in \mathbb{R}$

Como $\cos\left(2\phi\right)=\cos^2\phi-\sin^2\phi$

la podemos escribir como

$\cos\left(2\phi\right)=2cos^2\phi-1$

Sea $\phi=\frac{\alpha}{2}$

Entonces obtenemos

$\Bigg|\cos\Bigg(\frac{\alpha}{2}\Bigg)\Bigg|=\sqrt{\frac{\cos\alpha+1}{2}}$

y analizando los signos de la expresión para cada cuadrante, concluimos que:

$\cos\Bigg(\frac{\alpha}{2}\Bigg)=\sqrt{\frac{\cos\alpha+1}{2}}$

Transformación de una suma de cosenos en producto

$\cos\theta+\cos\phi=2\cos\Bigg(\frac{\phi+\theta}{2}\Bigg)\cos\Bigg(\frac{\theta-\phi}{2}\Bigg)$

Demostración

Sabiendo que $\forall\ \alpha,\beta,\theta,\phi \in\ \mathbb{R}$

Entonces

$\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

$\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta$

Hagamos $\theta=\alpha+\beta\,$ y $\phi=\alpha-\beta\,$

Entonces, resolviendo el sistema se tiene que

$\alpha=\frac{\theta+\phi}{2}$

$\beta=\frac{\theta-\phi}{2}$

Reemplazando se obtiene

$\cos\theta+\cos\phi=2\cos\Bigg(\frac{\theta+\phi}{2}\Bigg)\cos\Bigg(\frac{\theta-\phi}{2}\Bigg)$

Análogamente se demuestra para

$\cos\theta-\cos\phi=-2\sin\Bigg(\frac{\theta+\phi}{2}\Bigg)\sin\Bigg(\frac{\theta-\phi}{2}\Bigg)$

Derivada del coseno

Según la definición de derivada:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

lo que es

$\cos'x=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x + h)-\cos x}{h}$

Entonces, usando las fórmulas anteriormente señaladas, se tiene que

$\cos'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{-2\cdot \sin \frac{x + h + x}{2}\cdot \sin \frac{x + h - x}{2}}{h}$

$\cos'x=\lim_{h\rightarrow0} \frac{-2\sin \frac{2x + h}{2}\cdot\sin \frac{h}{2}}{h}$

Sabiendo que $\lim_{h\rightarrow0} \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=1$ y que el primer límite queda determinado, entonces

$\cos'x=-\sin x\,$

Generalizaciones del coseno

• coseno hiperbólico cosh(x)
• función elíptica cn(x)

Véase también

• Secante
• Arcocoseno
• Seno
• Tangente
• Sinusoide
• Trigonometría
• Función matemática
• Función par

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Coseno» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.