Radián

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El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad. Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades, junto con el estereorradián. A partir de ese año, y hasta el momento presente, ambas unidades figuran en la categoría de unidades derivadas.

Esta unidad se utiliza primordialmente en física, cálculo infinitesimal, trigonometría, goniometría, etc.

Un ángulo de 1 radián corresponde al arco de circunferencia cuya longitud es su radio. Una circunferencia completa corresponde a 2π radianes.
Arco1.png

Definición[editar]

Radian cropped color.svg

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios dividida entre el radio; es decir, θ = s/r, donde θ es ángulo, s es la longitud de arco, y r es el radio. Por tanto, el ángulo completo, \scriptstyle{\theta}_\text{circunferencia}, que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:

\theta_\text{circunferencia}=\frac {L_\text{circunferencia}}{r} =\frac {2 \pi r}{r}=2 \pi\ \text{rad}\,

Utilidad[editar]

El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π.

Análisis dimensional[editar]

El radián es la unidad natural en la medida de los ángulos. Por ejemplo, la función seno de un ángulo x expresado en radianes cumple:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x}=1

Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son:

  • \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}
  • \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}

donde x se expresa en radianes.

Equivalencias[editar]

  • La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°. Por tanto

1 radián = 57.29577951... grados sexagesimales y

1 grado sexagesimal = 0.01745329252... radianes.

  • La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200g

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados   30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2 /3 /4 /6 π /6 /4 /3 /2 /3 /4 11π/6

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.

  • El Radián tiene una unidad derivada llamada radián por segundo (rad/s) (velocidad angular). Esta tiene una equivalencia con las rpm. Las equivalencias se pueden calcular fácilmente con la ecuación que sigue:
De rpm a π rad/s
 \rm \frac{rpm} {2} \cdot 60 = \pi \; rad/s que con la ecuación simplificada:\rm \frac{rpm} {1} \cdot 30 = \pi \; rad/s
De π rad/s a rpm
\rm \frac{\pi \; rad/s} {60} \cdot 2 = rpm que con la ecuación simplificada:\rm \frac {\pi\; rad/s} {30} =\ rpm

Conversiones entre grados y radianes[editar]

Ángulos de los polígonos más comunes medidos en radianes, expresados como fracciones de π.
Tabla de conversión entre grados sexagesimales y radianes.

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes; un ángulo de 180° equivale a π radianes (recordemos que el número π ≈ 3,14159265359…).

Las equivalencias de los principales ángulos se muestran en las siguientes figuras:

Para convertir grados en radianes o viceversa, partimos de que 180° equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

  • Ejemplo A

Convertir 38° a radianes:

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

\frac { \pi}{180}=\frac {x}{38}

Despejamos x, también simplificamos.

{x}=\frac {38 \pi}{180}=\frac {19 \pi}{90}

Por último obtenemos el equivalente decimal:

x = 0,6632 radianes.

  • Ejemplo B

Convertir 2,4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.

\frac { \pi}{180}=\frac {2.4}{x}

Despejamos x.

x=\frac {180 \cdot 2.4}{ \pi}

Por último obtenemos el equivalente decimal:

x = 137.5099°".

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Florian Cajori, 1929, History of Mathematical Notations, Vol. 2, pp. 147–148; Nature, 1910, Vol. 83, pp. 156, 217, y 459—460;

Enlaces externos[editar]