Teorema de Ptolomeo

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Un cuadrilátero cumple con el Teorema de Ptolomeo solamente si es cíclico.

El teorema de Ptolomeo es una relación en geometría euclidiana entre los cuatro lados y las dos diagonales de un cuadrilátero cíclico. El teorema recibe su nombre del astrónomo y matemático griego Claudio Ptolomeo.

Si un cuadrilátero está dado por sus cuatro vértices A, B, C, D, el teorema afirma que:

Donde la línea sobre las Letras indica la longitud de los segmentos entre los vértices correspondientes.

Esta relación puede ser expresada de manera verbal de la siguiente forma:

Si un cuadrilátero puede ser inscrito en un círculo, la suma de los productos de las dos parejas de lados opuestos es igual al producto de las diagonales.

[editar] Demostraciones

[editar] Demostración geométrica

Demostración del teorema de Ptolomeo

1. Sea ABCD un cuadrilátero cíclico.
2. Note que en el segmento BC, ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, y en AB, ∠ADB = ∠ACB.
3. Ahora, por ángulos comunes △ABK es similar a △DBC, y △ABD ∼ △KBC
4. Por lo tanto AK/AB = CD/BD, y CK/BC = DA/BD,
   1. Por lo tanto AK·BD = AB·CD, y CK·BD = BC·DA;
   2. Lo que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
   3. Es decir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
   4. Pero AK+CK = AC, por lo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.

Note que la demostración es claramente válida solo para cuadriláteros concíclicos simples, si el cuadrilátero es complejo entonces K se encontrará fuera del segmento AC, y por lo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.