Teorema de Apolonio

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
fig.1: Esquema con áreas → ( {\scriptstyle{ \color{Red} a^2}\;+\;{ \color{Orange} b^2 }\; =\; { \color{Blue} \frac{1}{2}\;c^2 }\;+\;{ \color{OliveGreen} 2\;M^2 }} ).

En geometría, el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados.

Teorema de Apolonio (teorema de la mediana)

Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual al la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente.


Para cualquier triángulo ΔABC (véase fig. 1), si M es la mediana correspondiente al lado c, donde AP = PB = ½ c, entonces :

a^2+b^2=\frac{1}{2}\;c^2 + 2\;M^2

Afinidades[editar]

Sobre las demostraciones[editar]

Existen (o pueden existir) razones para no exponer las demostraciones originales, una de ellas seria que los documentos de dichas demostraciones no hayan llegado hasta nuestros días. Por otra parte, al existir en nuestros días más y mejores herramientas matemáticas, puede optarse (aplicando el principio de parsimonia) por exponer solo las demostraciones más sencillas.

Al igual que muchos otros teoremas éste puede ser demostrado de múltiples maneras, algunas de ellas serían:

Demostración de Godfrey y Siddons[editar]

fig. G&S: Los ángulos φ y φ' son suplementarios (φ + φ' = π = 180°) y por definición de mediana mc = nc = ½ c.

Demostración[2] por medio del teorema del coseno. Sea un triángulo euclidiano cualquiera de lados a, b y c, para cuyo lado c se ha trazado la mediana correspondiente Mc (línea verde en la fig. G&S), donde (por definición de mediana) mc = nc = ½ c. La mediana Mc forma con el lado c los ángulos φ y φ', siendo que φ abarca al lado b y φ' abarca al lado a, entonces de acuerdo al teorema del coseno podemos expresar:

(gs01) b^2 = m_c^2 + M_c^2 - 2\;m_c\;M_c\;\cos (\varphi )

(gs02) a^2 = n_c^2 + M_c^2 - 2\;n_c\;M_c\;\cos (\varphi')


Reemplazando en (gs01) mc → ½ c y en (gs02) nc → ½ c y cos φ'  →  -cos φ (por ser φ' y φ ángulos suplementarios), y simplificando obtenemos:

(gs03) b^2 = \frac{c^2}{4} + M_c^2 - 2\;\frac{c}{2}\;M_c\;\cos (\varphi )

(gs04) a^2 = \frac{c^2}{4} + M_c^2 + 2\;\frac{c}{2}\;M_c\;\cos (\varphi )

Notar que los últimos términos de los miembros derechos de las ecuaciones (gs03) y (gs04) solo difieren en signo, luego sumando m.a.m. dichas ecuaciones y simplificando arroja:

(gs05) a^2+b^2=\frac{c^2}{2}+2 M_c^2

  , ∎.[3]

La expresión anterior (gs05) es la conclusión final del teorema de Apolonio realizada para la mediana Mc, como se trata de una demostración general, con razonamientos similares se puede obtener las expresiones equivalentes para las restantes medianas Ma y Mb, las cuales serían:

(gs06) b^2+c^2=\frac{a^2}{2}+2 M_a^2

(gs07) a^2+c^2=\frac{b^2}{2}+2 M_b^2

Fórmulas de aplicación práctica[editar]

De las expresiones (gs05), (gs06) y (gs07) del la demostración (Godfrey y Siddons) del teorema de Apolonio (teorema de las medianas) pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo), éstas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos , a un cuarto elemento desconocido, (los elementos en cuestión son lados y medianas) . La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla ):

Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )
M_a=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(b^2+c^2\right)-a^2} Triangle3Medians3ColRGB-01.svg
M_b=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(a^2+c^2\right)-b^2}
M_c=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(a^2+b^2\right)-c^2}
a=\sqrt{2 \left(b^2+c^2\right)-4 M_a^2} b=\sqrt{\frac{a^2}{2}-c^2+2 M_a^2} c=\sqrt{\frac{a^2}{2}-b^2+2 M_a^2}
a=\sqrt{\frac{b^2}{2}-c^2+2 M_b^2} b=\sqrt{2 \left(a^2+c^2\right)-4 M_b^2} c=\sqrt{-a^2+\frac{b^2}{2}+2 M_b^2}
a=\sqrt{-b^2+\frac{c^2}{2}+2 M_c^2} b=\sqrt{-a^2+\frac{c^2}{2}+2 M_c^2} c=\sqrt{2 \left(a^2+b^2\right)-4 M_c^2}
( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: Ma, Mb y Mc )[4] — ( Semilados: ma=na = ½ a , mb=nb = ½ b y mc=nc = ½ c ).


Véase también[editar]

Notas y Referencias[editar]

  1. Boyer, Carl B. (julio de 1996). «Cap. IX: Apolonio de Perga». Historia de la matemática. Traducido por Mariano Martínez Pérez (5º edición). Alianza Editorial. pp. 189–208. ISBN 978-84-206-8094-1. 
  2. Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. p. 20. 
  3. Unicode indica que el cuadrado relleno (∎), como símbolo matemático, significa ‘fin de la prueba’ (en inglés ‘end of proof’) o también QED (Quod erat demonstrandum).
  4. Déplanche, Y.,Diccio fórmulas, 1996, Edunsa (publ.), "Medianas de un triángulo" pág. 25. [1], isbn=9788477471196