Ángulos entre paralelas

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En geometría euclidiana, los ángulos entre paralelas son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Se clasifican según su congruencia.

Ángulos correspondientes[editar]

Figura 1: Rectas paralelas m y n, recta transversal t.

Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 se llaman ángulos correspondientes, y son congruentes (figura 1).

Ángulos alternos[editar]

Alternos externos[editar]

Las parejas de ángulos: <1 y <7; <2 y <8 se llaman ángulos alternos externos, y son congruentes (figura 1).

Alternos internos[editar]

Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos, y son congruentes (figura 1).

Ángulos congruentes entre paralelas[editar]

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que son adyacentes (figura 2).

Figura 2: Rectas paralelas a y b, tranversal t, ángulos adyacentes β y θ.

Teoremas y resultados relacionados[editar]

La noción de ángulos correspondientes es la base de numerosos ejemplos y teoremas fundamentales de la geometría,[1] presente en los cursos de enseñanza media de las matemáticas.[Ver: Bibliografía] Es un resultado geométrico intuitivo conocido y manejado desde la antigüedad, de manera tanto práctica como teórica,[2] si bien es la ciencia griega, y en particular Euclides, en los Elementos (siglo III a.C.), quienes formalizan los conceptos y las nociones de un modo que ha permanecido casi sin variaciones hasta nuestros días.

Según cuenta la leyenda, el filósofo Tales de Mileto utilizó esta propiedad para medir la altura de las pirámides de Guiza, alrededor del año 500 a.C.

Proposiciones de Euclides[editar]

La controversia sobre el V postulado alcanza la definición de los ángulos entre paralelas desde el momento mismo de la elección de la noción de «rectas paralelas»: las que guardan siempre la misma distancia; las que no se encuentran; o bien las que forman ángulos congruentes al ser cortadas por una transversal.[3]

De Los Elementos de Euclides:

Proposición 28

Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos ángulos rectos, las rectas serán paralelas entre sí.

Proposición 29

Una recta que corta a otras dos rectas paralelas hace los ángulos alternos iguales, los ángulos externos iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los ángulos internos por el mismo lado iguales a dos rectos.

Definición 23

Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

Independencia del V postulado[editar]

Si los ángulos interiores α y β no son suplementarios, las rectas prolongadas se intersecan (véase: Quinto postulado de Euclides).

Los siguientes dos resultados (lógicamente equivalentes[4] ) son independientes del V postulado de Euclides. La Proposición 16, por ejemplo, no se cumple en geometría elíptica.

De Los Elementos de Euclides:

Proposición 27

Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas.

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Proposición 16

En cualquier triángulo, si se alarga uno de los lados, el ángulo exterior es mayor o igual que el ángulo interior y los ángulos opuestos.

Geometría no-euclidiana[editar]

En la geometría absoluta o la geometría esférica por ejemplo, el quinto postulado de Euclides no aplica, por lo que los ángulos entre paralelas tienen propiedades diferentes.

Véase también[editar]

Relaciones aritméticas entre ángulos:

Relaciones posicionales entre ángulos:


Notas y referencias[editar]

  1. Ver: Regla y compás.
  2. Ver: Historia de la geometría.
  3. Manifiestamente, Euclides no utiliza el concepto en sus primeras 26 proposiciones.
  4. Heath, T.L., The thirteen books of Euclid's Elements, Vol.1, Dover, 1956, pg.309.

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]