Paralelismo (matemática)

Dos rectas paralelas.

Planos paralelos.

En geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás).

En geometría clásica, las rectas o planos paralelos son los equidistantes entre sí y por más que los prolonguemos no pueden encontrarse. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G ó G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = $\mathbb R^2$), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si tienen un mismo vector director.

Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.

Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.

De manera análoga, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningún punto.

Rectas paralelas

Las rectas a, b del plano P son paralelas, si son los equidistantes entre sí y por más que los prolonguemos no pueden encontrarse, o por traslación se les puede hacer coincidir.

Notación

Dado el conjunto R de las rectas en el plano, diremos que dos recta a, b de R son paralelas y lo notaremos:

$a, b \in R  : \quad a \parallel b$

Siendo correcta la notación:

$a \parallel b \quad \mbox{o} \quad \parallel (a,b) \quad \mbox{o bien} \quad (a,b) \in \parallel$

Axioma de unicidad

El axioma que distingue a la geometría euclídea de otras geometrías es el siguiente:

En un plano, por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

Propiedades

Siendo a, b, c rectas en el plano P, se cumple:

• Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:

$\forall a \in P  : \quad a \parallel a$

• Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:

$\forall a, b \in P  : \quad a \parallel b \longrightarrow \quad b \parallel a$

Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.

• Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:

$\forall a, b, c \in P  : \quad \Big( \; a \parallel b \; \land \; b \parallel c \; \Big) \longrightarrow \quad a \parallel c$

Luego la relación de paralelismo entre rectas del plano es una relación de equivalencia.

Teoremas

• En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.

• Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las parelelas de esta (en un plano).

Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.

Véase también

• Perpendicularidad
• Quinto postulado de Euclides
• Ángulos entre paralelas

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Parallel." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Parallel.html