Ángulos entre paralelas

En geometría euclidiana, los ángulos entre paralelas son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Se clasifican según su congruencia.

Ángulos correspondientes

Figura 1: Rectas paralelas m y n, recta transversal t.

Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 se llaman ángulos correspondientes, y son congruentes (figura 1).

Ángulos alternos

Alternos externos

Las parejas de ángulos: <1 y <7; <2 y <8 se llaman ángulos alternos externos, y son congruentes (figura 1).

Alternos internos

Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos, y son congruentes (figura 1).

Ángulos congruentes entre paralelas

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que son adyacentes (figura 2).

Figura 2: Rectas paralelas a y b, tranversal t, ángulos adyacentes β y θ.

Teoremas y resultados relacionados

La noción de ángulos correspondientes es la base de numerosos ejemplos y teoremas fundamentales de la geometría, presente en los cursos de enseñanza media de las matemáticas.^{[Ver: Bibliografía]} Es un resultado geométrico intuitivo conocido y manejado desde la antigüedad, de manera tanto práctica como teórica, si bien es la ciencia griega, y en particular Euclides, en los Elementos (siglo III a.C.), quienes formalizan los conceptos y las nociones de un modo que ha permanecido casi sin variaciones hasta nuestros días.

Según cuenta la leyenda, el filósofo Tales de Mileto utilizó esta propiedad para medir la altura de las pirámides de Guiza, alrededor del año 500 a.C.

• 

  Teorema de Desargues.

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  Teorema de Tales.

• 

  Triángulos semejantes.

• 

  Triángulos semejantes.

Proposiciones de Euclides

La controversia sobre el V postulado alcanza naturalmente la definición de los ángulos entre paralelas, desde el momento mismo de la elección de la noción de «rectas paralelas»: si aquellas que guardan siempre la misma distancia; las que no se encuentran; o bien las que forman ángulos congruentes al ser cortadas por una transversal. Manifiestamente, Euclides no utiliza el concepto en sus primeras 26 proposiciones.

De los Elementos de Euclides:

Proposición 28 Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos ángulos rectos, las rectas serán paralelas entre sí.

Proposición 29 Una recta que corta a otras dos rectas paralelas hace los ángulos alternos iguales, los ángulos externos iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los ángulos internos por el mismo lado iguales a dos rectos.

Definición 23 Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

Independencia del V postulado

Si los ángulos interiores α y β no son suplementarios, las rectas prolongadas se intersecan (V postulado de Euclides).

Los siguientes dos resultados (lógicamente equivalentes ) son independientes del V postulado de Euclides. La Proposición 16 por ejemplo, no se cumple en geometría elíptica.

De los Elementos de Euclides:

Proposición 27 Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas.

Proposición 16 En cualquier triángulo, si se alarga uno de los lados, el ángulo exterior es mayor o igual que el ángulo interior y los ángulos opuestos.

Geometría no-euclidiana

En la geometría absoluta o la geometría esférica por ejemplo, el quinto postulado de Euclides no aplica, por lo que los ángulos entre paralelas tienen propiedades diferentes.

Contraejemplos

Geometría elíptica.

Geometría hiperbólica.

Disco de Poincaré.

Véase también

Relaciones aritméticas entre ángulos:

• Ángulos congruentes
• Ángulos complementarios
• Ángulos suplementarios
• Ángulos conjugados

Relaciones posicionales entre ángulos:

• Ángulos adyacentes
• Ángulos consecutivos
• Ángulos opuestos por el vértice
• Ángulos interiores y exteriores

• Postulados de Euclides
• Quinto postulado de Euclides
• Paralelismo
• Perpendicularidad
• Geometría no euclídea

Bibliografía

• Quintero, Ana Helvia (1994). Geometría. UPR. ISBN 0-8477-2345-3. http://bks1.books.google.com.pr/books?id=1cQZ-pvFoDsC&lpg=PP1&hl=es&pg=PP1#v=onepage&q&f=false. 
• Guerrero G, Ana Berenice (2006). Geometría: desarrollo axiomático. ECOE. http://bks1.books.google.com.pr/books?id=KQPu54kgeKwC&lpg=PP1&hl=es&pg=PP1#v=onepage&q&f=false. 
• Tsijli, Teodora (2006). Geometría Euclídea II. EUNED. ISBN 9977-64-830-1. http://bks1.books.google.com.pr/books?id=P7rgaHKW6EYC&lpg=PP1&hl=es&pg=PR4#v=onepage&q&f=false. 

Enlaces externos

• Pierce, Rod. «Líneas paralelas y pares de ángulos».
• Transversal and its properties, sitio interactivo, (en inglés).
• Elementos de Euclides.