Axioma

A veces se compara a los axiomas con semillas, porque de ellos surge toda la teoría de la cual son axiomas.

Un axioma es una premisa que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados.

En matemática, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas «verdades evidentes», porque permiten deducir las demás fórmulas.

En lógica matemática un postulado es una proposición no necesariamente evidente: una fórmula bien formada (planteada) de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.

En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.

Etimología

La palabra axioma proviene del sustantivo griego αξιωμα, que significa «lo que parece justo» o que se le considera evidente, sin necesidad de demostración. El término viene del verbo griego αξιοειν (axioein), que significa "valorar", que a su vez procede de αξιος (axios): "valioso" o "digno". Entre los filósofos griegos antiguos, un axioma era lo que parecía verdadero sin necesidad de prueba alguna.

Lógica

La lógica del axioma es partir de una premisa calificada de verdadera por sí misma (el axioma), y de ésta inferir otras proposiciones por medio del método deductivo, de lo cual se obtienen conclusiones coherentes con el axioma. Los axiomas han de cumplir sólo un requisito: de ellos, y de reglas de inferencia, han de deducirse todas las demás proposiciones de una teoría dada.

Axiomas

Los axiomas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente válidas, esto es fórmulas satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable. En términos coloquiales son enunciados verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretación posible, con cualquier asignación de valores. Comúnmente se toma como axioma un conjunto mínimo de tautologías suficientes para probar una teoría.

Ejemplo

En cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes:

1. $\phi \to (\psi \to \phi) \,$
2. $(\phi \to (\psi \to \chi)) \to ((\phi \to \psi) \to (\phi \to \chi)) \,$
3. $(\lnot \phi \to \lnot \psi) \to (\psi \to \phi)$,

donde $\phi \,$, $\psi \,$, y $\chi \,$ pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje.

Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo si p, q, y r son variables proposicionales, entonces $p \to (q \to r) \,$ y $(p \to \neg q) \to (r \to (p \to \neg q)) \,$ son instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas.

Puede probarse que, con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, todas las tautologías del cálculo proposicional son demostrables. También se puede probar que ningún par de estos esquemas es suficiente para demostrar todas las tautologías utilizando modus ponens. Este conjunto de esquemas axiomáticos también se utiliza en el cálculo de predicados, pero son necesarios más axiomas lógicos.

Ejemplo. Sea $\mathfrak{L}\,$ un lenguaje de primer orden. Para cada variable $x\,$ la fórmula $x = x\,$ es universalmente válida.

Esto significa que, para cualquier símbolo variable $x\,$, la fórmula $x = x\,$ puede considerarse axioma. Para no incurrir en vaguedad o en una serie infinita de «nociones primitivas», primeramente se necesita una idea de lo que se desea expresar mediante $x = x\,$, o definir un uso puramente formal y sintáctico del símbolo $=\,$. De hecho sucede esto en Lógica matemática.

Otro ejemplo interesante es el de «instanciación universal». Para una fórmula $\phi\,$ en un lenguaje de primer orden $\mathfrak{L}\,$, una variable $x\,$ y un término $t\,$ sustituible por $x\,$ en $\phi\,$, la fórmula $\forall x. \phi \to \phi^x_t$ es válida universalmente.

En términos informales este ejemplo permite afirmar que si se sabe que cierta propiedad $P\,$ se cumple para toda $x\,$ y que si $t\,$ es un objeto particular en la estructura, se estaría en capacidad de afirmar $P(t)\,$.

De nuevo se afirma que la fórmula $\forall x. \phi\ \to \phi^x_t$ es válida. Esto es, se debe ser capaz de aportar una prueba de este hecho, o -mejor expresado- una metaprueba. En efecto, estos ejemplos son metateoremas de la teoría de lógica matemática, ya que la referencia es meramente al concepto demostrativo en sí. Además se puede extender a una generalización existencial.

Esquema axiomático. Para una fórmula $\phi\,$ en un lenguaje de primer orden $\mathfrak{L}\,$, una variable $x\,$ y un término $t\,$ sustituible por $x\,$ en $\phi\,$, la $\phi^x_t \to \exists x. \phi$ es universalmente válida.

Limitaciones de los sistemas axiomáticos

A mediados del siglo XX, Kurt Gödel demostró que, no obstante sean bien definidos y consistentes, los sistemas axiomáticos de cierta complejidad adolecen de limitaciones graves. En todo sistema de tal complejidad siempre hay una proposición P verdadera pero no demostrable. Gödel prueba que en cualquier sistema formal que incluya aritmética puede generarse una proposición P mediante la cual se afirme que este enunciado no es demostrable.

Véase también

• Sistema axiomático
• Postulado
• Dogma
• Sistema formal
• Regla de inferencia
• Teorema
• Axiomas de Peano
• Teoremas de incompletitud de Gödel

Bibliografía

• Sagan, Carl (1997). El mundo y sus demonios. Barcelona: Planeta. ISBN 84-08-02043-9. 

Enlaces externos

• Wikcionario tiene definiciones para axioma.Wikcionario
• Axioma
• Axioma, en el Diccionario soviético de filosofía
• Axioma, en Diccionario enciclopédico hispanoamericano